TF : Exponentielles et logarithmes

Remarque : les calculs proposés sont sélectionnés aléatoirement, ainsi un formatif donné n'est pas forcément représentatif de l'ensemble de la matière !

Exercice 1 (temps moyen estimé : 13 min)

Déterminer la valeur des expressions suivantes sans utiliser la calculatrice. Toutes les réponses sont à donner en fractions irréductibles.

  1. $$\log_{4}\left(\frac{1}{64}\right)$$
  2. $$\log_{}\left(0.00001\right)$$
  3. $$\log_{2}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}\right)$$
  4. $$\log_{2}\left(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}\right)$$
  5. $$\log_{\sqrt[3]{2}}\left(0.5\right)$$
  6. $$\log_{1/3}\left(81\right)$$

Exercice 2 (temps moyen estimé : 20 min)

Simplifier les expressions suivantes de telle sorte à obtenir plus qu'un seul logarithme avec tout le reste à l'intérieur de celui-ci et totalement simplifié.

  1. $$-4\log\left(\dfrac{x^{4}}{y^{6}z^{5}}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(\dfrac{x^{6}}{y^{2}z^{6}}\right)= \log(?)$$
  2. $$\dfrac{1}{6}\log\left(\dfrac{y^{6}}{x^{2}}\right)-\dfrac{1}{6}\log\left(\dfrac{1}{x^{4}y^{2}}\right)= \log(?)$$
  3. $$-\log\left(\dfrac{\sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[5]{y^{6}}}\right)-\dfrac{1}{4}\log\left(x^{3}y\right)= \log(?)$$

Exercice 3 (temps moyen estimé : 24 min)

Résoudre les équations suivantes. La calculatrice est autorisée, mais seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée. Toutes les étapes de la résolution doivent être détaillées.

  1. $$7^{x} = \dfrac{1}{16807}$$
  2. $$5^{x} = 25$$
  3. $$9\log_{6}(-x+4) = 9$$
  4. $$\log_{x}\left(3\right) = 1$$
  5. $$-3\log_{9}(6x-2)+8 = -1$$
  6. $$ \log_{6}\left(9x+2\right) - \log_{6}(8) = -\log_{6}\left(-x-3\right) + \log_{6}(9)$$
  7. $$ 2\cdot 6^{3x}+7-4\cdot 6^{-3x} = 0 $$

Exercice 4 (temps moyen estimé : 6 min)

Un problème vous est posé et il vous est demandé de trouver une relation entre deux quantités (exponentielle, logarithmique... ou autre), comme par exemple aux exercices 11ab (bactéries), 12a (taux d'intérêt), 16b (désintégration) du cours. Il vous sera demandé uniquement de trouver la relation, sans devoir ensuite effectuer des calculs avec (contrairement aux exercices 11c, 12bc, 16c), ainsi vous n'êtes pas pénalisés si vous n'avez pas trouvé l'équation. Le contexte du problème sera inédit, mais aucune connaissance d'autres branches (physique, chimie, biologie, économie, etc.) ne sera requise pour résoudre avec succès le problème.

Exercice 5 (temps moyen estimé : 13 min)

Un problème vous est présenté et les relations entre les différentes quantités du problème sont données, comme par exemple aux exercices 17 (décibels) et 18 (pH) du cours. Il vous est alors demandé de déterminer la valeur d'une des quantités du problème en connaissant la valeurs d'autres quantités et en exploitant les relations présentées (comme aux exercices 17 et 18 du cours). Le contexte du problème sera inédit, mais aucune connaissance d'autres branches (physique, chimie, biologie, économie, etc.) ne sera requise pour résoudre avec succès le problème.

Relecture (temps moyen estimé : 14 min)

Remarque : les temps par exercice sont estimés selon la formule empirique suivante : $$ t_{\text{élèves}} \approx 3\cdot t_{\text{SIM}}$$






Réponses

Exercice 1

  1. -3
  2. -5
  3. -3/2
  4. -5/2
  5. -3
  6. -4

Exercice 2

  1. \(\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{47}}\sqrt{z^{37}}}{\sqrt{x^{29}}}\right)\)
  2. \(\log\left(\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y^{4}}\right)\)
  3. \(\log\left(\dfrac{\sqrt[20]{y^{19}}}{\sqrt{x^{3}}}\right)\)

Exercice 3

  1. \(x=-5\)
  2. \(x=2\)
  3. \(x=-2\)
  4. \(x = 3\)
  5. \(x=\frac{731}{6}\)
  6. \(x \cong -0.129\)

Répartition des points :

  • Exercice 1 : environ 25%
  • Exercice 2 : environ 20%
  • Exercice 3 : environ 35%
  • Exercices 4 et 5 : environ 20%

Corrigé détaillé

Exercice 1

  1. Ce calcul revient à se poser la question \(4\) puissance combien fait \(\frac{1}{64}\). En effet : $$ x=\log_{4}\left(\frac{1}{64}\right) \Leftrightarrow 4^x = \frac{1}{64}$$Par ailleurs : $$ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^{3}} = 4^{-3}$$ Ainsi : $$4^x = 4^{-3}$$ On en déduit donc que \(x = -3\). Autrement dit : $$\log_{4}\left(\frac{1}{64}\right) = -3$$

  2. Ce calcul revient à se poser la question \(4\) puissance combien fait \(\frac{1}{64}\). En effet : $$ x=\log_{4}\left(\frac{1}{64}\right) \Leftrightarrow 4^x = \frac{1}{64}$$Par ailleurs : $$ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^{3}} = 4^{-3}$$ Ainsi : $$4^x = 4^{-3}$$ On en déduit donc que \(x = -3\). Autrement dit : $$\log_{4}\left(\frac{1}{64}\right) = -3$$

    Ce calcul revient à se poser la question \(10\) puissance combien fait \(0.00001\). En effet : $$ x=\log_{}\left(0.00001\right) \Leftrightarrow 10^x = 0.00001$$Par ailleurs : $$ 0.00001 = \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^{5}} = 10^{-5}$$ Ainsi : $$10^x = 10^{-5}$$ On en déduit donc que \(x = -5\). Autrement dit : $$\log_{}\left(0.00001\right) = -5$$

  3. Ce calcul revient à se poser la question \(2\) puissance combien fait \(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}\). En effet : $$ x=\log_{2}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}\right) \Leftrightarrow 2^x = \sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[4]{\dfrac{1}{64}} = \left(\dfrac{1}{64}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{1}{2^{6}}\right)^{1/4} = \left(2^{-6}\right)^{1/4} = 2^{-3/2}$$ Ainsi : $$2^x = 2^{-3/2}$$ On en déduit donc que \(x = -\dfrac{3}{2}\). Autrement dit : $$\log_{2}(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}) = -\dfrac{3}{2}$$

  4. Ce calcul revient à se poser la question \(2\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}\). En effet : $$ x=\log_{2}\left(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}\right) \Leftrightarrow 2^x = \sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[2]{\dfrac{1}{32}} = \left(\dfrac{1}{32}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{1}{2^{5}}\right)^{1/2} = \left(2^{-5}\right)^{1/2} = 2^{-5/2}$$ Ainsi : $$2^x = 2^{-5/2}$$ On en déduit donc que \(x = -\dfrac{5}{2}\). Autrement dit : $$\log_{2}(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}) = -\dfrac{5}{2}$$

  5. Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{2}\) puissance combien fait \(0.5\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{2}}\left(0.5\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = 0.5$$D'une part : $$ 0.5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2^{1}} = 2^{-1}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 3}\right)^x = 2^{x / 3}$$Ainsi : $$2^{x / 3} = 2^{-1}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & -1& \cdot 3\\ x & = & -3& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{2}}(0.5) = -3$$

  6. Ce calcul revient à se poser la question \(1/3\) puissance combien fait \(81\). En effet : $$ x=\log_{1/3}\left(81\right) \Leftrightarrow \left(1/3\right)^x = 81$$D'une part : $$ 81 = 3^{4}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = \left(3^{-1}\right)^x = 3^{-x}$$Ainsi : $$3^{-x} = 3^{4}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & 4& \cdot (-1)\\ x & = & -4& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/3}(81) = -4$$

Exercice 2

  1. Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-4\log\left(x^{4}y^{-6}z^{-5}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(x^{6}y^{-2}z^{-6}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{4}y^{-6}z^{-5}\right)^{-4}\right)+\log\left(\left(x^{6}y^{-2}z^{-6}\right)^{\frac{1}{4}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-16}y^{24}z^{20}\right)+\log\left(x^{\frac{3}{2}}y^{-\frac{1}{2}}z^{-\frac{3}{2}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-16}y^{24}z^{20}x^{\frac{3}{2}}y^{-\frac{1}{2}}z^{-\frac{3}{2}}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{29}{2}}y^{\frac{47}{2}}z^{\frac{37}{2}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{47}{2}}z^{\frac{37}{2}}}{x^{\frac{29}{2}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{47}}\sqrt{z^{37}}}{\sqrt{x^{29}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{47}}\sqrt{z^{37}}}{\sqrt{x^{29}}}\right)$$

  2. Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$\dfrac{1}{6}\log\left(x^{-2}y^{6}\right)-\dfrac{1}{6}\log\left(x^{-4}y^{-2}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-2}y^{6}\right)^{\frac{1}{6}}\right)-\log\left(\left(x^{-4}y^{-2}\right)^{\frac{1}{6}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{1}{3}}y\right)-\log\left(x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-\frac{1}{3}}y}{x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{4}{3}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y^{4}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y^{4}}\right)$$

  3. Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-\log\left(\dfrac{x^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{6}{5}}}\right)-\dfrac{1}{4}\log\left(x^{3}y\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-\log\left(x^{\frac{3}{4}}y^{-\frac{6}{5}}\right)-\dfrac{1}{4}\log\left(x^{3}y\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{\frac{3}{4}}y^{-\frac{6}{5}}\right)^{-1}\right)-\log\left(\left(x^{3}y\right)^{\frac{1}{4}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{6}{5}}\right)-\log\left(x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{4}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{4}}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{3}{2}}y^{\frac{19}{20}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{19}{20}}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[20]{y^{19}}}{\sqrt{x^{3}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[20]{y^{19}}}{\sqrt{x^{3}}}\right)$$

Exercice 3

  1. On peut constater que \(\dfrac{1}{16807} = 7^{-5}\), ainsi $$7^{x} = 7^{-5} \Leftrightarrow x = -5$$Si l'on n'avait pas constaté que \(\dfrac{1}{16807} = 7^{-5}\), on peut également procéder ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 7^{x} & = & \dfrac{1}{16807}& \log (...)\\ \log\left(7^{x}\right) & = & \log\left(\dfrac{1}{16807}\right)& \log (b^a)=a\cdot\log(b)\\ x\cdot \log(7) & = & \log\left(\dfrac{1}{16807}\right)& : \log(7)\\ x & = & \dfrac{\log\left(\dfrac{1}{16807}\right)}{\log\left(7\right)}& \text{Calculatrice}\\ x & = & -5 & \end{array}$$

  2. On peut constater que \(25 = 5^{2}\), ainsi $$5^{x} = 5^{2} \Leftrightarrow x = 2$$Si l'on n'avait pas constaté que \(25 = 5^{2}\), on peut également procéder ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 5^{x} & = & 25& \log (...)\\ \log\left(5^{x}\right) & = & \log\left(25\right)& \log (b^a)=a\cdot\log(b)\\ x\cdot \log(5) & = & \log\left(25\right)& : \log(5)\\ x & = & \dfrac{\log\left(25\right)}{\log\left(5\right)}& \text{Calculatrice}\\ x & = & 2 & \end{array}$$

  3. Rappelons tout d'abord que, par définition du logarithme, on a : $$ \log_b(x)=y \Leftrightarrow b^y=x $$On peut donc commencer par isoler le logarithme : $$\begin{array}{rcl|l}9\log_{6}(-x+4) & = & 9& :(9)\\\log_{6}(-x+4) & = & 1& 6^{...}\\ -x+4 & = & 6^{1} & \text{Simplifcation}\\ -x+4 & = & 6 &-4\\ -x & = & 2 &: (-1)\\x & = & -2 &\end{array}$$

  4. Rappelons tout d'abord que, par définition du logarithme, on a : $$ \log_b(a)=c \Leftrightarrow b^c=a $$ Ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} \log_{x}\left(3\right) & = & 1& x^{...}\\ 3 & = & x^{1} & \text{Simplifier}\\3 & = & x &\end{array}$$

  5. Rappelons tout d'abord que, par définition du logarithme, on a : $$ \log_b(x)=y \Leftrightarrow b^y=x $$On peut donc commencer par isoler le logarithme : $$\begin{array}{rcl|l}-3\log_{9}(6x-2)+8 & = & -1& -8\\-3\log_{9}(6x-2) & = & -9& :(-3)\\\log_{9}(6x-2) & = & 3& 9^{...}\\ 6x-2 & = & 9^{3} & \text{Simplifcation}\\ 6x-2 & = & 729 &+2\\ 6x & = & 731 &: 6\\x & = & \dfrac{731}{6} &\end{array}$$

  6. Comme le logarithme est défini que pour un argument positif, on en déduit tout d'abord que si une solution \(x\) existe, elle doit satisfaire : $$ 9x+2>0 \quad \text{et} \quad -x-3>0 $$Pour enlever les logarithmes en base 6, il faudra appliquer l'oppération inverse qui est \(6^{(...)}\). Cependant, il faut déjà qu'il n'y ait qu'un seul logarithme de chaque côté. On peut utiliser les propriétés des logarithmes à cet effet$$\begin{array}{rcl|l} \log_{6}\left(9x+2\right) - \log_{6}(8) & = & -\log_{6}\left(-x-3\right) + \log_{6}(9) & \text{Propriétés log}\\\log_{6}\left(\dfrac{9x+2}{8}\right) & = & \log_{6}\left(\dfrac{9}{-x-3}\right) & 6^{(...)}\\\dfrac{9x+2}{8} & = & \dfrac{9}{-x-3} & \cdot(8)\cdot(-x-3)\\ \left(9x+2\right)\left(-x-3\right) & = & 8\cdot9 & \text{Distributivité}\\ -9x^2-29x-6 & = & 72 & -72\\-9x^2-29x-78 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préféré, par exemple en utilisant la formule de Viète : $$\Delta = (-29)^2-4(-9)(-78) = -1967 <0 $$ $$ \Rightarrow x \in \emptyset $$

  7. Tout d'abord, constatons que \(6^{-3x} = \left(6^{3x}\right)^{-1} = \frac{1}{6^{3x}}\) : $$ 2\cdot 6^{3x}+7-\dfrac{4}{6^{3x}} = 0 $$On remarque que la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 6 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 6^{3x}\). L'équation se réécrit alors :$$\begin{array}{rcl|l} 2 y+7-\dfrac{4}{y} & = & 0 & \cdot y\\ 2 y^{2}+7 y-4 & = & 0 & \end{array}$$Remarque : il a été possible de multiplier par \(y\) sans risque, car \(y = 6^{3x}>0\), donc en particulier \(y\neq 0\). Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y+4)(2y-1)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = -4 \quad ; \quad y = \dfrac{1}{2} $$Comme \(y = 6^{3x}\), on en déduit : $$ 6^{3x} = -4 \quad ; \quad 6^{3x} = \dfrac{1}{2} $$Comme un nombre strictement positif élevé à n'importe quelle puissance ne peut pas donner un résultat négatif ou nul, la première équation n'a pas de solution. La seconde équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 6^{3x} & = & \dfrac{1}{2} & \log(...)\\ \log\left(6^{3x}\right) & = & \log\left(\dfrac{1}{2}\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\3x \log\left(6\right) & = & \log\left(\dfrac{1}{2}\right) & :\left(3\log\left(6\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(1/2\right)}{3\log\left(6\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & -0.129 & \end{array}$$La seule solution de l'équation initiale est donc : $$ x \cong -0.129$$

Copyright © Olivier Simon 2011-2020