Résoudre un problème d'intérêts simples ou composés combinant les notions de bases des objectifs 1 et 2 (comparaison de différentes offres, taux fixe modifié après un certain nombre d'années, conversion de taux, etc.).
La banque GFB propose un compte épargne à un taux annuel fixe de \(1.2\%\) pendant \(4\text{ ans}\) puis de \(0.41\%\) les années suivantes. La banque ESC propose quant à elle des comptes épargnes à un taux annuel fixe de \(0.82\%\). A partir de combien d'années la banque ESC est-elle plus rentable ?
Le taux de la banque GFB étant supérieur à celui de la banque ESC les \(4\text{ ans}\), il est certain que la banque ESC sera moins concurente que la banque GFB pendant au moins \(4\text{ ans}\). On peut déjà déterminer l'expression d'un captial \(C^{GFB}_{n_1}\) après \(n_1 = 4\text{ ans}\) à la première compte et le capital \(C^{ESC}_{n_1}\) correspondant à la seconde banque.
Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_{n_1} = C_0 (1+i)^{n_1} $$ Il suffit de remplacer les valeurs dans cette équation pour obtenir le résultat recherchée : $$ C^{GFB}_{n_1} = C_0(1+0.012)^{4} = 1.012^{4}C_0 \quad ; \quad C^{ESC}_{n_1} = C_0(1+0.0082)^{4} = 1.0082^{4}C_0 $$ On peut dès lors continuer en posant \(n\) comme étant le nombre d'années supplémentaires, \(\tilde{C}^{GFB}_0 = 1.012^{4}C_0\) et \(\tilde{C}^{ESC}_0 = 1.012^{4}C_0\) comme étant les nouveaux capitaux initiaux, avec le taux de la banque GFB abaissé désormais à \(0.41\%\). On a dès lors : $$ C^{GFB}_{n} = \tilde{C}^{GFB}_0 \cdot (1+i_{GFB2})^n = 1.012^{4}C_0\cdot(1+0.0041)^n = 1.012^{4}C_0 (1.0041)^n$$ et $$ C^{ESC}_{n} = \tilde{C}^{ESC}_0 \cdot (1+i_{ESC})^n = 1.0082^{4}C_0\cdot(1+0.0082)^n = 1.0082^{4}C_0 (1.0082)^n$$ Pour savoir quand la banque ESC devient plus rentable que sa concurrente, il faut déterminer le seuil de rentabilité, c'est-à-dire déterminer après quelle durée \(n\) le montant est identique sur les deux comptes, ce qui revient à poser : $$ \begin{array}{rcl|l} C^{GFB}_{n} & = & C^{ESC}_{n} & \text{Remplacement}\\ 1.012^{4}C_0 (1.0041)^n & = & 1.0082^{4}C_0 (1.0082)^n & : 1.0082^{4}C_0\\ \frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}}(1.0041)^n & = & (1.0082)^n & : (1.0041)^n\\ \frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}} & = & \frac{(1.0082)^n}{(1.0041)^n} & \text{Propriété puissances}\\ \frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}} & = & \left(\frac{1.0082}{1.0041}\right)^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}}\right) & = & \log\left(\left(\frac{1.0082}{1.0041}\right)^n\right) & \text{Propriété log.}\\ \log\left(\frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}}\right) & = & n\cdot\log\left(\frac{1.0082}{1.0041}\right) & :\log\left(\frac{1.0082}{1.0041}\right)\\ \dfrac{\log\left(\frac{1.012^{4}}{1.0082^{4}}\right)}{\log\left(\frac{1.0082}{1.0041}\right)} & = & n &\\ n & \cong & 3.69 \text{ ans} & \end{array} $$ Ainsi la banque ESC est plus rentabl que la banque GFB après \(4+4= 8 \text{ ans}\).
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