Résoudre un problème basique de capitalisation (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)). Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$\begin{array}{ll} \text{Versement en début de période :} & S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1}\\ \text{Versement en fin de période :} & \ddot{S}_n = a\dfrac{r^n-1}{r-1} \end{array}$$
Chloé place une somme de CHF 620 en début de mois sur un compte épargne avec un taux mensuel fixe de 0.125% (intérêts composés). Chloé verse ensuite cette même somme à chaque début de mois. Après un nombre à déterminer de mois, le montant sur le compte s'élève à un capital supérieur ou égal à CHF 4744 en fin de mois. Déterminer le nombre minimal de mois nécessaires pour atteindre ou dépasser un tel capital final.
Chloé place en chaque début de mois \(a = \text{CHF }620\), obtient un capital final \(S_n = \text{CHF }4744\), avec un taux mensuel \(i_{m} = 0.125\% = 0.00125\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.00125\), et on cherche la durée \(n\) en mois. La relation entre ces grandeurs est : $$ S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant) : $$\begin{array}{rcl|l} 4744 & = & 620\dfrac{1.00125(1.00125^{n}-1)}{1.00125-1} & :620\\ 7.6516 & \cong & \dfrac{1.00125(1.00125^{n}-1)}{0.00125} & \cdot 0.00125\\ 0.0096 & \cong & 1.00125(1.00125^{n}-1) & : 1.00125\\ 0.0096 & \cong & 1.00125^{n}-1 & +1\\ 1.0096 & \cong & 1.00125^{n} & \log(...)\\ 0.0041 & \cong & \log(1.00125^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.0041 & \cong & n\cdot \log(1.00125) & :\log(1.00125)\\ 7.61 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(8\text{ mois}\) pour que le capital soit supérieur ou égal au capital indiqué (en effet, Chloé reçoit les intérêts seulement en chaque fin de mois).
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