Géométrie 2D

Objectif 2

Déterminer l'angle entre deux vecteurs. Déterminer si les vecteurs suivants sont perpendiculaires entre eux : $$ \overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{c}4 \\ -9\end{array}\right) \quad \text{et} \quad \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}36 \\ 16\end{array}\right) $$

Nouvel exemple

Le produit scalaire entre les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) est défini par : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|\cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs cherchés. Dès lors, si aucun des deux vecteurs considéré n'est le vecteur nul, nous avons : $$ \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Leftrightarrow \quad \theta = 90° \text{ ou } \theta = 270° \quad \Leftrightarrow \quad \cos(\theta) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 $$ Dès lors, comme $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}4 \\ -9\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c}36 \\ 16\end{array}\right) = 4\cdot 36 + (-9)\cdot 16 = 0 $$ les deux vecteurs sont perpendiculaires.

Nouvel exemple

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