Calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes (pour l'instant seul des exemples avec des fonctions polynomiales sont proposés, mais bien entendu l'objectif doit être maîtrisé quel que soit la fonction). Calculer l'aire enfermée entre les fonctions \(f\) et \(g\), avec :$$ f(x) = 3x^{2}+4x^{}+4 \quad ; \quad g(x) = -2x^{2}+69x^{}-146$$
Tout d'abord, il faut déterminer intersections entre les fonctions \(f\) et \(g\) pour déterminer les bornes de notre aire fermée située entre les deux graphes. Pour déterminer les intersections entre les graphes de \(f\) et \(g\), il faut résoudre l'équation :
$$\begin{array}{rcl|l}
3x^{2}+4x^{}+4 & = & -2x^{2}+69x^{}-146 & -\left(-2x^{2}+69x^{}-146\right)\\
5x^{2}-65x^{}+150 & = & 0 &
\end{array}$$
Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en la factorisant. Nous pouvons déjà factoriser toute l'équation par \(5\), ce qui donne :
$$ 0 = 5\left(x^2 -13x+30\right) $$
Ensuite :
$$ 0 = 5\left(x-3\right)\left(x-10\right) $$
Il s'agit d'un produit de deux termes dont le résultat est nul, il y a ainsi deux possibilités :
soit \(\left(x-3\right)=0\) ;
soit \(\left(x-10\right)=0\).
Les deux solutions sont donc :
$$ x_1 = 3 \quad ; \quad x_2 = 10 $$ Ainsi la région enfermée par les deux graphes se situe entre \(x=3\) et \(x=10\). L'aire cherchée est ainsi donnée par :
$$ A = \left|\int_{3}^{10} \left(3x^{2}+4x^{}+4\right)\text{ d}x - \int_{3}^{10} \left(-2x^{2}+69x^{}-146\right)\text{ d}x\right| $$
A noter ici la présence de valeurs absolues, car nous n'avons pas calculé si c'était \(f\) qui se situait au-dessus de \(g\) ou l'inverse (mais on peut le déterminer aisément en prenant simplement un nombre entre les deux bornes). Par la linéarité de l'intégrale, on peut écrire :
$$ \begin{array}{ll}
A & \displaystyle = \left|\int_{3}^{10} \left(3x^{2}+4x^{}+4\right)\text{ d}x - \int_{3}^{10} \left(-2x^{2}+69x^{}-146\right)\text{ d}x\right|\\
&\displaystyle = \left|\int_{3}^{10} \left(\left(3x^{2}+4x^{}+4\right)-\left(-2x^{2}+69x^{}-146\right)\right)\text{ d}x\right|\\
&\displaystyle = \displaystyle \left|\int_{3}^{10} \left(5x^{2}-65x^{}+150\right)\text{ d}x \right|
\end{array}$$L'aire sera donc donnée par :
$$ A = \left|\int_{3}^{10} \left(5x^{2}-65x^{}+150\right)\text{ d}x\right| $$
Il faut désormais trouver la primitive de \(5x^{2}-65x^{}+150\). Celle-ci est donnée par :
$$ \int \left(5x^{2}-65x^{}+150\right)\text{ d}x = \dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{65}{2}x^2+150x + c, \forall c\in\mathbb{R}$$
(Comme vu à l'objectif précédent, la constante \(c\) n'aura aucune influence dans le calcul des intégrales avec bornes, car elle s'annule dans la soustraction).
On obtient ainsi :$$\begin{array}{ll}\displaystyle
\left|\int_{3}^{10} \left(5x^{2}-65x^{}+150\right)\text{ d}x\right| & = \left|\left.\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{65}{2}x^2+150x\right|_{3}^{10}\right|\\
& = \left|\left(\dfrac{5}{3}(10)^3-\dfrac{65}{2}(10)^2+150(10)\right)-\left(\dfrac{5}{3}(3)^3-\dfrac{65}{2}(3)^2+150(3)\right)\right|\\
& \cong \left|-83.33-202.5\right| \cong \left|-285.83\right| = 285.83
\end{array}
$$Ainsi l'aire cherchée vaut : $$ A \cong 285.83 $$