Calculer une limite lorsque \(x\) tend vers \(\pm \infty\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to +\infty}\left(\log(x^2-2x+5)\right)$$
Lorsque \(x\) devient arbitrairement grand en magnitude, c'est aussi le cas de cette expression. Plus précisément, le premier terme sera bien supérieur aux autres. On a donc : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\log(x^2-2x+5)\right) = \lim_{x\to +\infty}\left(\log(x^2)\right)$$ Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), le terme dans le logarithme tend vers \(+\infty\) et est donc positif. Plus l'argument (positif) dans le logarithme deviendra grand, plus le résultat de l'expression grandira également. Ainsi :$$\lim_{x\to +\infty}\left(\log(x^2-2x+5)\right) = +\infty $$
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