On peut commencer par factoriser tout ce qui peut l'être :
$$ f(x) = \dfrac{-3x^2-18x}{2x-4} = \dfrac{-3x(x+6)}{2(x-2)} $$
En effet, la forme factorisée sera probablement plus pratique pour trouver les zéros, les exclus, les signes, etc. alors que la forme développée sera probablement plus adaptée au comportement lorsque \(x\) tend vers \(\pm\infty\)
La fonction n'est pas définie lorsque \(x\) vaut \(2\), car on a une division par zéro. Le domaine est donc :
$$ D_f = \mathbb{R}\setminus\{2\} $$
La fonction intersecte l'axe \(y\) en un point \((0;y)\). Pour trouver ce point, il suffit de remplacer \(x\) par zéro dans la fonction. On obtient alors :
$$ f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad I_y\left(0;0\right)$$
La fonction intersecte (possiblement) l'axe \(x\) en un (ou des) point(s) \((x;0)\). Pour trouver ce(s) point(s), il suffit de poser \(y=f(x)=0\) :
$$\begin{array}{rcl|l}
f(x) & = & 0 &\\
\dfrac{-3x(x+6)}{2(x-2)} & = & 0 & \cdot 2(x-2)\\
-3x(x+6) & = & 0 &
\end{array}$$Cette équation a deux solutions, \(x_1=0\) et \(x_2=-6\). Comme \(0\) fait bien partie du domaine, on a donc une intersection avec l'axe \(x\) en \(x=0\) :
$$ I_{x1}\left(0;0\right) $$
Comme \(-6\) fait bien partie du domaine, on a donc une intersection avec l'axe \(x\) en \(x=-6\) :
$$ I_{x2}\left(-6;0\right) $$
Il faut calculer la limite proche des exclus. Nous avons ici un seul exclu, \(x=2\).
La limite autour de \(x=2\) donne :$$ \lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \dfrac{-3x(x+6)}{2(x-2)} \text{ n'existe pas}$$
En effet, le numérateur tend vers une constante non nulle et le dénominateur vers zéro, le résultat de cette expression va donc devenir de plus en plus grand en magnitude. Il faut calculer séparément la limite à gauche et à droite pour déterminer le signe. On obtient à gauche :$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} 2} f(x) = \lim_{x\stackrel{<}{\to} 2} \dfrac{-3x(x+6)}{2(x-2)} = +\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to 2} \left(-3x(x+6)\right) = -48$$
$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} 2} \left(2(x-2)\right) = 0^{-}$$
A droite, on obtient :
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} 2} f(x) = \lim_{x\stackrel{>}{\to} 2} \dfrac{-3x(x+6)}{2(x-2)} = -\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to 2} \left(-3x(x+6)\right) = -48$$
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} 2} \left(2(x-2)\right) = 0^{+}$$
On a donc une asymptote verticale d'équation :
$$ \text{A.V. } : x = 2 $$
Pour établir le tableau des signes, on place les exclus et les zéros (il n'est pas nécessaire de mettre les trous si leur ordonnée n'est pas nulle, mais on peut les mettre si souhaité). On obtient :
$$ x $$
$$-6$$
$$0$$
$$2$$
$$ f(x) $$
$$+$$
$$0$$
$$-$$
$$0$$
$$+$$
$$\text{A.V.}$$
$$-$$
Pour obtenir les signes des cases situées entre deux points particuliers, on a simplement remplacé dans la fonction un nombre \(x\) quelconque se trouvant entre ces deux cases et on a regardé le signe de \(f\).
On commence par comparer les degrés du polynôme formant le dénominateur avec le polynône formant le numérateur. Le degré du numérateur est supérieur au degré du numérateur, ainsi la fonction tendra vers \(\pm\infty\) lorsque \(x\) tendra vers \(\pm\infty\). Comme \(\text{deg(numérateur)}-\text{deg(numérateur)} = 1\), il y a donc une asymptote oblique. Pour déterminer son équation, on effectue la division euclidienne (aussi appelée division en colonne) avec reste.$$\begin{array}{rrrr|l}
-3x^2 & -18x & & & \underline{2x-4}\\
-(-3x^2 & +6x & & ) & -\tfrac{3}{2}x-12\\& -24x & & & \\
& - (-24x & +48 & )& \\
& & -48 & )& \\\end{array}$$
La fonction peut donc se réécrire :
$$ f(x) = -\tfrac{3}{2}x-12 + \tfrac{-48}{2x-4}$$
Nous avons donc une asympotote oblique d'équation :
$$ A.O. : y = -\tfrac{3}{2}x-12$$
Par ailleurs :
$$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{-48}{2x-4} = 0^{+} \quad ; \quad \lim_{x\to+\infty} \dfrac{-48}{2x-4} = 0^{-}$$
Ainsi la fonction se trouve :
Au-dessus de l'asymptote lorsque \(x\to-\infty\)
Au-dessous de l'asymptote lorsque \(x\to+\infty\)
Pour tracer le graphe de \(f\), on place les intersections avec les axes, les trous, les asymptotes verticales, horizontales, obliques et on s'approche correctement des asymptotes et en respectant le tableau des signes.
Le graphe ne s'affiche pas ou pas entièrement ? Copiez simplement l'équation suivante dans Geogebra :
y = (-3x^2-18x)/(2x-4)
Remarque : il se peut qu'une partie intéressante du graphe sorte de la feuille, vérifier sur Geogebra en cas de doute !