Trigonométrie

En utilisant la touche arctangente de la calculatrice (\(\tan^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \tan\left(\theta\right) & = & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \tan^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \tan^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 30° + k\cdot 360° & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 360\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=180°+\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 30°+ k\cdot 360° ~;~ \theta_2 = 210°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Dans ce cas, on remarque que les deux solutions sont exactement opposées (c'est toujours le cas pour la fonciton tangente comme on peut le constater sur le schéma ci-dessus). On peut donc garder une seule des deux solutions et ajouter des demi-tours. On peut donc réécrire nos solutions ainsi : $$ \theta = 30°+ k\cdot 180° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Comme on ne cherche que les solutions entre \(-360°\) compris et \(540°\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi : $$ \theta\in\left\{-330°;-150°;30°;210°;390°\right\} $$

Nouvel exemple