TF : Dérivées

Remarque : les calculs proposés sont sélectionnés aléatoirement, ainsi un formatif donné n'est pas forcément représentatif de l'ensemble de la matière !

Matériel autorisé : de quoi écrire, calculatrice. PAS de formulaire. Les formules suivantes seront écrites dans la donnée du test (aucune autre) : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$

Exercice 1

Dériver les fonctions suivantes.

  1. $$ f(x) = 2+6\ln(x)+9e^x$$
  2. $$ f(x) = \dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}-6\cos(x)$$
  3. $$ f(x) = 7\left(\cos(x)\right)^{8}$$
  4. $$ f(x) = \ln(x)\cdot \sin(x)$$
  5. $$ f(x) = \cos\left(\sin(x)\right)$$
  6. $$ f(x) = \dfrac{\ln(x)}{3x^{6}}$$

Exercice 2

Exercice testant la compréhension de ce que représente une dérivée, le lien entre sa définition et la pente de la tangente.

Exercice 3

Effectuer une étude de fonction de l'objectif 5 (cliquer ici et la question s'ouvrira dans un nouvel onglet, avec un lien vers son corrigé.).

Exercice 4

Un problème d'optimisation à résoudre.

$$ \text{C.f. exercices faits en classe}$$




Réponses

Exercice 1

  1. $$ f'(x)= +\dfrac{6}{x}+9e^x $$
  2. $$ f'(x)= \dfrac{-7}{3\sqrt[3]{x^{4}}}+6\sin(x) $$
  3. $$ f'(x) = -56\left(\cos(x)\right)^{7}\sin(x) $$
  4. $$ f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \sin(x) + \ln(x)\cdot \left(\cos(x)\right) $$
  5. $$ f'(x) = -\sin\left(\sin(x)\right)\cos(x) $$
  6. $$ f'(x) = \dfrac{\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(3x^{6}\right) - \left(\ln(x)\right)\cdot \left(18x^{5}\right)}{\left(3x^{6}\right)^2} $$

Exercice 2

Exercice 3

Cf. autre onglet

Exercice 4

$$ \text{C.f. exercices faits en classe}$$

Répartition des points :

  • Exercice 1 :
  • Exercice 2 :
  • Exercice 3 :
  • Exercice 4 :

Corrigé détaillé

Exercice 1

  1. On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier.$$ \left(2\right)' = 0 $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(6\ln(x)\right)' = 6\left(\ln(x)\right)' = 6\dfrac{1}{x}$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(9e^x\right)' = 9\left(e^x\right)' = 9e^x$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= +\dfrac{6}{x}+9e^x $$

  2. On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 2 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \dfrac{7}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{7}{x^{1/3}} $$Ensuite, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{7}{x^{1/3}} =7\cdot\dfrac{1}{x^{-1/3}} =7x^{-1/3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{-1/3}\right)' = -\dfrac{1}{3}\cdot x^{-4/3} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}\right)' = 7\left(x^{-1/3}\right)'= 7\left(-\dfrac{1}{3}\cdot x^{-4/3}\right) = -\dfrac{7}{3}\cdot x^{-4/3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-4/3} = \dfrac{1}{x^{4/3}} = \dfrac{1}{x^{4\cdot\tfrac{1}{3}}}= \dfrac{1}{\left(x^{4}\right)^{1/3}}= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(\dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}\right)' = \dfrac{-7}{3\sqrt[3]{x^{4}}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-6\cos(x)\right)' = -6\left(\cos(x)\right)' = -6(-\sin(x))$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{-7}{3\sqrt[3]{x^{4}}}+6\sin(x) $$

  3. Nous constatons que nous avons une composition de fonction, en l'occurrence la fonction \(v(x)=\cos(x)\) qui est imbriquée dans la fonction \(u(x)=7x^{8}\). Pour y voir plus clair, on peut poser \(z = v(x)\) et ainsi on a : $$ u(z) = 7z^{8} \quad ; \quad z = v(x) = \cos(x) \quad ; \quad f(x) = u(v(x))$$ La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(z)\cdot v'(x)$$ On a ainsi : $$ u'(z) = 56z^{7}$$ et $$ v'(x) = -\sin(x)$$ Ainsi : $$ f'(x) = 56z^{7}\cdot \left(-\sin(x)\right)$$ En substituant \(z=\cos(x)\), on obtient donc : $$ f'(x) = 56\left(\cos(x)\right)^{7}\cdot\left(-\sin(x)\right) $$ Nous pouvons encore simplifier cette expression :$$ f'(x) = -56\left(\cos(x)\right)^{7}\sin(x) $$

  4. Nous constatons que nous avons un produit de deux fonctions, en l'occurrence le produit entre la fonction \(u(x)=\ln(x)\) et la fonction \(v(x)=\sin(x)\). La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$$ Avec : $$ u'(x) = \frac{1}{x}$$ et $$ v'(x) = \cos(x)$$ Ainsi : $$ f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \sin(x) + \ln(x)\cdot \left(\cos(x)\right) $$Il est possible que le résultat puisse encore se simplifier. Nous laissons le soin à l'étudiant-e de faire le nécessaire et cette option sera ajoutée ces prochains jours.

  5. Nous constatons que nous avons une composition de fonction, en l'occurrence la fonction \(v(x)=\sin(x)\) qui est imbriquée dans la fonction \(u(x)=\cos(x)\). Pour y voir plus clair, on peut poser \(z = v(x)\) et ainsi on a : $$ u(z) = \cos(z) \quad ; \quad z = v(x) = \sin(x) \quad ; \quad f(x) = u(v(x))$$ La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(z)\cdot v'(x)$$ On a ainsi : $$ u'(z) = -\sin(z)$$ et $$ v'(x) = \cos(x)$$ Ainsi : $$ f'(x) = -\sin(z)\cdot \left(\cos(x)\right)$$ En substituant \(z=\sin(x)\), on obtient donc : $$ f'(x) = -\sin\left(\sin(x)\right)\cdot\left(\cos(x)\right) $$ Nous pouvons encore simplifier cette expression :$$ f'(x) = -\sin\left(\sin(x)\right)\cos(x) $$

  6. Nous constatons que nous avons un quotient de deux fonctions, en l'occurrence le quotient de la fonction \(u(x)=\ln(x)\) par la fonction \(v(x)=3x^{6}\). La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$ Avec : $$ u'(x) = \frac{1}{x}$$ et $$ v'(x) = 18x^{5}$$ Ainsi : $$ f'(x) = \dfrac{\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(3x^{6}\right) - \left(\ln(x)\right)\cdot \left(18x^{5}\right)}{\left(3x^{6}\right)^2} $$Il est possible que le résultat puisse encore se simplifier. Nous laissons le soin à l'étudiant-e de faire le nécessaire et cette option sera ajoutée ces prochains jours.

Exercice 2

Exercice 3

Cf. autre onglet

Exercice 4

$$ \text{C.f. exercices faits en classe}$$

Copyright © Olivier Simon 2011-2021