Dérivées

Objectif 5

Déterminer l'équation de la droite tangente au graphe d'une fonction et passant par un point donné se trouvant ou non sur cette fonction. Déterminer l'équation de la droite tangente à \(f\) au point d'abscisse \(x=10\) avec :$$ f(x) = -10\sin(x)$$

Nouvel exemple

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=10\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=10\), c'est-à-dire : $$ m = f'(10) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). $$ \left(-10\sin(x)\right)' = -10\left(\sin(x)\right)' = -10\cos(x)$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par (attention de ne pas oublier de mettre votre calculatrice en radians !) :$$ f'(x)= -10\cos(x) $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(10) \cong 8.39 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=10\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((10;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(10) \cong 5.44 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 8.39x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((10;5.44)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 5.44 = 8.39\cdot 10+h \quad \Rightarrow \quad h \cong -78.5$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 8.39x-78.5$$

Nouvel exemple

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