Géométrie 2D

Objectif 2

Déterminer l'angle entre deux vecteurs. Déterminer l'angle entre les deux vecteurs suivants : $$ \overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right) \quad \text{et} \quad \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}3 \\ 6\end{array}\right) $$

Nouvel exemple

Le produit scalaire entre les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) est défini par : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|\cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs cherchés. Dès lors : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}}{\left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|}\right) $$ Par ailleurs, le produit scalaire peut se calculer également à l'aide des composantes des vecteurs : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c}3 \\ 6\end{array}\right) = 2\cdot 3 + 4\cdot 6 = 30 $$ Les normes des vecteurs sont quant à elles données par : $$ \begin{align} \left\|\overrightarrow{a}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right)\right\| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \cong 4.47\\ \left\|\overrightarrow{b}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}3 \\ 6\end{array}\right)\right\| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} \cong 6.71 \end{align}$$ Ainsi : $$ \theta \cong \cos^{-1}\left(\dfrac{30}{4.47\cdot 6.71}\right) \cong \cos^{-1}\left(1\right) \cong 0° $$

Nouvel exemple

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