Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\cos(2x+1)\). Voici un petit rappel sur les dérivées des fonctions trigonométriques : $$ \left(\sin(x)\right)' = \cos(x) \quad\Rightarrow \quad \int \cos(x) \text{ d}x = \sin(x) $$ $$ \left(\cos(x)\right)' = -\sin(x) \quad\Rightarrow \quad \int -\sin(x) \text{ d}x = \cos(x) $$ ce qui implique que nous pouvons prendre comme ansatz une fonction du type \(\sin(2x+1)\) : $$ \left(\sin(2x+1)\right)' = \cos(2x+1) \cdot (2x+1)' = 2\cos(2x+1) $$ On en déduit (c'est le même principe que toutes les autres fonctions, je vous laisse faire les détails par vous-même cette fois-ci !) : $$ \int \cos(2x+1) \text{ d}x = \dfrac{1}{2}\sin(2x+1)+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{1}{2}\sin(2x+1)+c\right)' = \cos(2x+1) $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-10}^{1} \cos(2x+1) \text{ d}x &= \left.\dfrac{1}{2}\sin(2x+1)+c\right|_{-10}^{1} \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\sin(2(1)+1)+c\right) - \left(\dfrac{1}{2}\sin(2(-10)+1)+c\right) \\ & \cong 0.0706-0.0749\\ & \cong -0.00438 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Remarque : ne pas oublier de mettre votre calculatrice en radians !

Nouvel exemple