Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$4\log\left(x^{-3}y^{-1}z^{-5}\right)-5\log\left(x^{-1}y^{-5}z^{4}\right)+\log\left(x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-3}y^{-1}z^{-5}\right)^{4}\right)-\log\left(\left(x^{-1}y^{-5}z^{4}\right)^{5}\right)+\log\left(x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-12}y^{-4}z^{-20}\right)-\log\left(x^{-5}y^{-25}z^{20}\right)+\log\left(x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-12}y^{-4}z^{-20}}{x^{-5}y^{-25}z^{20}}\right)+\log\left(x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-7}y^{21}z^{-40}\right)+\log\left(x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-7}y^{21}z^{-40}x^{5}y^{-6}z^{2}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-2}y^{15}z^{-38}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{15}}{x^{2}z^{38}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{15}}{x^{2}z^{38}}\right)$$

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