Résoudre des équations trigonométriques mobilisant d'autres connaissances (relations trigonométriques, équations du deuxième degré) en donnant les solutions dans l'intervalle mentionné, en degrés ou en radians. [seuls quelques types d'exemples sont proposés ici]$$ \cos(x) = 8\tan(x)~;~\text{avec}~\theta~\text{en degrés et}~\theta\in \mathbb{R} $$
On peut commencer par réexprimer la tangente en fonction du sinus et du cosinus : $$ \begin{array}{rcl|l} \cos(x) & = & 8\tan(x) & \text{Relation trigonométrique} \\ \cos(x) & = & 8\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & \cdot \cos(x) \\ \cos^2(x) & = & 8\sin(x) & \text{Relation trigonométrique} \\ 1-\sin^2(x) & = & 8\sin(x) & -1+\sin^2(x) \\ 0 & = & \sin^2(x) +8\sin(x) -1 & \end{array} $$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre avec sa méthode préférée, par exemple en utilisant la formule de Viète : $$ \Delta = \left(8\right)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-1) = 68 $$On obtient alors deux solutions : $$ \sin(x_1) = \dfrac{-\left(8\right) - \sqrt{68}}{2} \cong -8.12~;~x_2=\dfrac{-\left(8\right) + \sqrt{68}}{2} \cong 0.123 $$La première solution n'est pas possible, car le sinus d'un angle est toujours compris entre -1 et 1. Ainsi il n'y a qu'une seule équation à résoudre :$$ \begin{array}{rcl|l} \sin(x) & \cong & 0.123 & \sin^{-1}\\ x_1 & \cong & 7.07° + k\cdot 360° & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution en esquissant un petit cercle trigonométrique.
On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_2 = 180°-x_1\). Ainsi : $$ x_1 \cong 7.07°+ k\cdot 360° ~;~ x_2 \cong 173°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$
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