Cours BEJUNE

Objectif 2

Niveau de difficulté :1 2 (actuel)3 4

Factoriser une expression algébrique.$$ y^{2}-7y^{}+6$$

On commence par regarder s'il existe un facteur (numérique et/ou algébrique) commun à tous les termes. Ce n'est pas le cas ici. Comme il s'agit d'un polynône du deuxième degré, il se peut qu'on puisse le factoriser par une double parenthèse du type : $$ y^{2}-7y^{}+6 = (y\pm...)(y\pm...) $$ En redéveloppant cette expression, nous obtiendrions 4 termes :

Parmis ces 4 termes, seul le terme issu de la flèche violette peut donner le terme initial $+6$. Intéressons-nous tout d'abord aux signes Dans la mesure où ce terme est négatif, cela signifie que les deux signes doivent être opposés, car : $$ {\color{purple}{(\pm...)\cdot(\pm...) = \boxed{+}6}} $$ Ainsi l'un des deux signes est un $+$ et l'autre un $-$ (peu importe lequel est qui, par symétrie) :$$ y^{2}-7y^{}+6 = (y-...)(y-...) $$ La question du signe étant réglée, on peut désormais s'intéresser à la valeur de ce produit violet qui doit donner $+6$. Les couples d'entiers dont le produit est égal à $+6$ sont :

$-1 \cdot (-6) = 6$
$-2 \cdot (-3) = 6$

Pour déterminer laquelle de ces combinaisons est la bonne, il nous reste à examiner le terme proportionnel à $y$ (soit $-7y$). Celui-ci sera obtenu conjointement à partir des flèches bleues et oranges ci-dessous : On constate que parmis les solutions listées, $-6$ avec $-1$ est le seul couple qui satisfait ce terme. En effet : $$ (y^{}-6)(y^{}-1) = y^2-y-6y+6 = y^{2}-7y^{}+6 $$ Ainsi : $$ y^{2}-7y^{}+6 = (y^{}-6)(y^{}-1) $$

Remarque

On peut résumer la factorisation à l'aide de deux parenthèses en trois étapes :

On détermine les signes
On détermine des paires de candidats dont le produit donne le terme constant
On détermine parmi ces paires laquelle reproduit correctement le terme proportionnel à $y$

L'étape 2 peut donner un nombre plus ou moins conséquent de paires et dont engendrer un nombre de solution plus ou moins conséquent à vérifier à l'étape 3. Ainsi plutôt que de tester toutes les paires une par une dans l'ordre, il est nécessaire de faire appel à son intuition pour déterminer laquelle des paires vous semble la plus probable. Il suffira ensuite de tester en distribuant et si votre intuition était incorrecte de tester la seconde possibilité qui vous semble la plus intuitive jusqu'à trouver la bonne solution. Concrètement, on n'écrira pas la liste explicite des diviseurs (cela prendrait trop de temps), mais on chercher à trouver directement la bonne paire et la tester.

A noter que pour guider votre intuition, si le coeffcient devant $y^2$ est 1, on constate en distribuant que le coefficient multipliant $y$ est obtenu à partir de la somme des deux nombres cherchés (avec leur signes). En particulier, s'il n'y a pas de terme proportionnel à $y$, ces deux termes doivent s'annuler et donc les deux nombres cherchées sont les opposés l'un de l'autre (par exemple $+3$ et $-3$).

Le but est que la factorisation puisse être effectuée en un temps raisonnablement court, devenant ainsi un outil efficace pour la suite. A cet effet, afin d'acquérir des réflexes, il est nécessaire de s'entraîner, de la même mesure qu'une tenniswoman ou un tennisman s'entraînera pour acquérir des réflexes lorsqu'une balle arrive sur elle/lui (si elle/il devait faire une réflexion exhaustive à chaque fois qu'une balle lui est envoyée, la balle l'atteindrait avant la fin de son raisonnement, le réflexe permet de gagner en rapididité). Bien entendu, on vérifiera toujours que la solution proposée est la bonne en distribuant la solution trouvée pour vérifier qu'elle reproduit bien le calcul initial.

Une fois que vous avez compris le principe, passez au niveau suivant qui comporte les mêmes calculs, mais avec des corrigés dans cet esprit, sans tous les détails.

Nouvel exemple