Géométrie 2D

Le produit scalaire entre les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) est défini par : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|\cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs cherchés. Dès lors, si aucun des deux vecteurs considéré n'est le vecteur nul, \(\left\|\overrightarrow{a}\right\|>0\) et \(\left\|\overrightarrow{b}\right\|>0\), ainsi le signe du produit scalaire ne dépend que du signe de \(\cos(\theta)\). Par ailleurs, en dessinant un cercle trigonométrique, on se rappelle que le cosinus est nul si l'angle est droit, positif si l'angle est aigu et négatif s'il est obtus. En résumé : $$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 & \Leftrightarrow & \quad \text{Angle droit entre les deux vecteurs}\\ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} > 0 & \Leftrightarrow & \quad \text{Angle aigu entre les deux vecteurs}\\ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} < 0 & \Leftrightarrow & \quad \text{Angle obtus entre les deux vecteurs} \end{array}$$ Dès lors, comme $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}9 \\ 10\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right) = 9\cdot 2 + 10\cdot 4 = 58 >0 $$ l'angle entre les deux vecteurs est un angle aigu.

Nouvel exemple