Intégrales

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-6e^{4x+7}\). On sait que la dérivée de la fonction \(e^x\) est elle-même, ainsi on peut prendre comme ansatz \(e^{4x+7}\) : $$ \left(e^{4x+7}\right)' = e^{4x+7} \cdot (4x+7)' = e^{4x+7} \cdot 4 = 4e^{4x+7} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-6e^{4x+7}\) on obtient \(4e^{4x+7}\). Par ailleurs, \(4e^{4x+7}\) est \(4\) fois plus grand que \(e^{4x+7}\) qui est \(-6\) fois plus petit que \(-6e^{4x+7}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(4\) et de le multiplier par \(-6\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}\) :$$ \int -6e^{4x+7} \text{ d}x = -\dfrac{3}{2}e^{4x+7}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{3}{2}e^{4x+7}+c\right)' = -\dfrac{3}{2}\cdot e^{4x+7}\cdot 4 = -6e^{4x+7} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -6e^{4x+7} \text{ d}x = -\dfrac{3}{2}e^{4x+7}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple