Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-13(-2x-2)^{2}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(2\) est un polynôme de degré \(3\). Prenons simplement comme ansatz \((-2x-2)^{3}\). Sa dérivée est : $$ \left((-2x-2)^{3}\right)' = 3(-2x-2)^{2} \cdot (-2x-2)' = 3(-2x-2)^{2} \cdot (-2) = -6(-2x-2)^{2} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-13(-2x-2)^{2}\) on obtient \(-6 (-2x-2)^{2}\). Par ailleurs, \(-6 (-2x-2)^{2}\) est \(-6\) fois plus grand que \((-2x-2)^{2}\) qui est \(-13\) fois plus petit que \(-13(-2x-2)^{2}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-6\) et de le multiplier par \(-13\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-13}{-6}=\dfrac{13}{6}\) :$$ \int -13(-2x-2)^{2} \text{ d}x = \dfrac{13}{6}(-2x-2)^{3}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{13}{6}(-2x-2)^{3}+c\right)' = \dfrac{13}{6}\cdot\left(3 (-2x-2)^{2}\right)\cdot (-2) = -13(-2x-2)^{2} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{5}^{10} -13(-2x-2)^{2} \text{ d}x &= \left.\dfrac{13}{6}(-2x-2)^{3}+c\right|_{5}^{10} \\ &= \left(\dfrac{13}{6}(-2(10)-2)^{3}+c\right) - \left(\dfrac{13}{6}(-2(5)-2)^{3}+c\right) \\ & \cong -23071-(-3744)\\ & \cong -19327 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple