Cours BEJUNE

Objectif 1

Calculer une limite basique (c'est-à-dire sans qu'il soit nécessaire de faire de simplification algébrique) autour d'une valeur $x_0$. Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Si elle n'est pas définie, calculer la limite à gauche et la limite à droite si elles sont définies. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to -8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right)$$

Nouvel exemple

On constate que lorsque $x$ tend vers $-8$ :

Le numérateur tend vers $-7$
Le dénominateur tend vers $0$

Cela signifie que lorsque $x$ se rapproche de $-8$, notre expression tend vers un nombre non nul divisé par un nombre qui devient de plus en petit. Dès lors, le résultat est de plus en plus grand. La limite tendra donc vers plus ou moins l'infini. Il faut donc vérifier ce qu'il se passe à gauche de $-8$ et à droite de $-8$, en particulier concernant le signe.

Considérons la limite à gauche de $-8$ : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right)$$
- Le numérateur tend vers $-7$ et est donc négatif.
- Le dénominateur tend bien entendu toujours vers $0$, mais comme $x<-8$, on a que $-8-x$ est positif.
Comme le numérateur est négatif et le dénominateur positif, le résultat est donc négatif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right) = -\infty $$
Considérons la limite à droite de $-8$ : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right)$$
- Le numérateur tend vers $-7$ et est donc négatif.
- Le dénominateur tend bien entendu toujours vers $0$, mais comme $x>-8$, on a que $-8-x$ est négatif.
Comme le numérateur est négatif et le dénominateur négatif, le résultat est donc positif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right) = +\infty $$

En résumé :$$\lim_{x\to -8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right) \text{n'existe pas}$$ $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right) = -\infty $$ $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-8}\left(\dfrac{x+1}{-8-x}\right) = +\infty $$

Nouvel exemple