Limites

Objectif 1

Calculer une limite basique (c'est-à-dire sans qu'il soit nécessaire de faire de simplification algébrique) autour d'une valeur \(x_0\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Si elle n'est pas définie, calculer la limite à gauche et la limite à droite si elles sont définies. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to 8}\left(\sqrt{x-8}\right)$$

Nouvel exemple

On constate que lorsque \(x\) tend vers \(8\), l'argument sous la racine tend vers 0. Si la valeur de l'argument sous la racine tend vers 0 par valeur positive, la racine de cet argument tendra également vers 0. Si en revanche l'argument sous la racine tend vers 0 par valeur négative, il n'est pas possible de faire la racine d'un nombre négatif et la limite n'existera pas. Il faut donc différencier le cas de la limite à gauche et à droite.

  • Considérons la limite à gauche de \(8\) : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right)$$

    L'argument sous la racine tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x<8\), on a que \(x-8\) est négatif. Comme il n'est pas possible de faire la racine d'un nombre négatif, la limite à droite n'existe pas. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right) \text{n'existe pas}$$

  • Considérons la limite à droite de \(8\) : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right)$$

    L'argument sous la racine tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x>8\), on a que \(x-8\) est positif. Comme l'argument est positif et tend vers 0, la limite à gauche tend vers 0 : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right) = 0$$

En résumé :$$\lim_{x\to 8}\left(\sqrt{x-8}\right) \text{n'existe pas}$$$$\lim_{x\stackrel{<}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right) \text{n'existe pas}$$$$\lim_{x\stackrel{>}{\to}8}\left(\sqrt{x-8}\right) = 0$$

Nouvel exemple

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