Limites

On constate que lorsque \(x\) tend vers \(6\) :

• Le numérateur tend vers \(11\)
• Le dénominateur tend vers \(0\)

Cela signifie que lorsque \(x\) se rapproche de \(6\), notre expression tend vers un nombre non nul divisé par un nombre qui devient de plus en petit. Dès lors, le résultat est de plus en plus grand. La limite tendra donc vers plus ou moins l'infini. Il faut donc vérifier ce qu'il se passe à gauche de \(6\) et à droite de \(6\), en particulier concernant le signe.

• Considérons la limite à gauche de \(6\) : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right)$$
  • Le numérateur tend vers \(11\) et est donc positif.
  • Le dénominateur tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x<6\), on a que \(6-x\) est positif.
  Comme le numérateur est positif et le dénominateur positif, le résultat est donc positif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right) = +\infty $$
• Considérons la limite à droite de \(6\) : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right)$$
  • Le numérateur tend vers \(11\) et est donc positif.
  • Le dénominateur tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x>6\), on a que \(6-x\) est négatif.
  Comme le numérateur est positif et le dénominateur négatif, le résultat est donc négatif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right) = -\infty $$

En résumé :$$\lim_{x\to 6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right) \text{n'existe pas}$$ $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right) = +\infty $$ $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}6}\left(\dfrac{x+5}{6-x}\right) = -\infty $$

Nouvel exemple