Calculer une limite dont la forme initiale est indéterminée (c'est-à-dire qu'il est nécessaire de faire des simplifications algébriques pour la calculer) autour d'une valeur \(x_0\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Si elle n'est pas définie, calculer la limite à gauche et la limite à droite si elles sont définies. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5x^2-10x+175}{2x^2-6x-140}\right)$$
On constate que lorsque \(x\) tend vers \(-7\), le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). Cela signifie que plus \(x\) s'approche de \(-7\), plus le numérateur et le dénominateur deviennent petits. Cependant, on ne sait pas lequel des deux se rapproche le plus rapidement de zéro. Cette forme est donc pour le moment indéterminée. Pour pouvoir déterminer la valeur de la limite, on peut essayer de factoriser l'expression pour la simplifier ensuite : $$\lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5x^2-10x+175}{2x^2-6x-140}\right) = \lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5(x+7)(x-5)}{2(x+7)(x-10)}\right)$$ On peut simplifier cette fraction par \((x+7)\), c'est-à-dire concrètement diviser le numérateur et le dénominateur par \((x+7)\). En effet, rappelons que \(\lim_{x\to -7}\) signifie que \(x\) s'approche de \(-7\), mais sans être égal à \(-7\), dès lors nous ne sommes pas en train de faire une divions par zéro. Ainsi : $$\lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5(x+7)(x-5)}{2(x+7)(x-10)}\right) = \lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5(x-5)}{2(x-10)}\right)$$ On constate que lorsque \(x\) tend vers \(-7\) :
Cela signifie que lorsque \(x\) se rapproche de \(-7\), notre expression tend vers \(60\) divisé par \(-34\). La limite tendra donc vers \(-\dfrac{30}{17}\) : $$\lim_{x\to -7}\left(\dfrac{-5x^2-10x+175}{2x^2-6x-140}\right) = -\dfrac{30}{17}$$
Copyright © Olivier Simon 2011-2024