Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = \alpha $$On peut ensuite isoler \(\cos\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} 8\cos\left(\theta\right) & = & -\sqrt{48} & :(8)\\ \cos\left(\theta\right) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \end{array}$$En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 150° + k\cdot 360° & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 360\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 150°+ k\cdot 360° ~;~ \theta_2 = -150°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = \alpha\), ainsi : $$ \alpha_1 = 150°+ k\cdot 360° ~;~ \alpha_2 = -150°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre ces équations :$$\begin{array}{rcl|l}\alpha_{1} & = & 150°+ k\cdot 360° & \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl|l}\alpha_{2} & = & -150°+ k\cdot 360° & \end{array}$$

Nouvel exemple