Cinématique

Objectif 2

Niveau de difficulté :1 (actuel)23

Résoudre un problème de cinématique.
Cristiana lance une balle avec une vitesse de \(1~\text{m}/\text{s}\) vers le bas depuis une hauteur de \(4.2~\text{m}\) au-dessus du sol. On suppose que le modèle de la chute libre est une approximation raisonnable pour modéliser la situation. Déterminer la vitesse de la balle lorsqu'elle atteindra le sol.

Nouvel exemple

On peut structurer le raisonnement ainsi :

  1. Schéma
  2. avec : $$ \begin{array}{ccccc} & & {\color{blue}{a = -9.81~\text{m}/\text{s}^2}} & & \\ {\color{black}{t_0 = 0~\text{s}}} & ; & {\color{red}{x_0 = 4.2~\text{m}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_0 = -1~\text{m}/\text{s}}} \\{\color{black}{t_s =~?}} & ; & {\color{red}{x_s = 0~\text{m}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_s =~?}} \\ \end{array} $$
  3. Unités
  4. Toutes les grandeurs sont déjà dans les unités de base du Système International.

  5. Équations du mouvement
  6. L'hypothèse de la chute libre implique que la balle suit un MRUA vertical avec une accélération dirigée vers le bas dont l'intensité vaut \(g=9.81\text{m}/\text{s}^2\). Les équations du mouvement sont donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x(t) = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 + v_0\cdot t + x_0\\ v(t) = a\cdot t+v_0 \end{array}\right. $$

  7. Valeurs (arrivée au sol)
  8. En considérant le temps \(t_s\) où la balle arrive au sol, on a donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x_s = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_s^2 + v_0\cdot t_s + x_0\\ v_s = a\cdot t_s+v_0 \end{array}\right. $$ En remplaçant les valeurs, on obtient : $$ \left\{\begin{array}{l} 0 = \dfrac{1}{2}\cdot (-9.81)\cdot t_s^2 -t_s+4.2\\ v_s = -9.81\cdot t_s-1 \end{array}\right. $$

  9. Résolution (arrivée au sol)
  10. La première équation ne contient qu'une inconnue, \(t_s\). Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en utilisant la formule de Viète. Les coefficients de cette équation sont : $$ a \cong -4.91 \quad ; \quad b = -1 \quad ; \quad c = 4.2$$ Nous pouvons calculer le discriminant \(\Delta\) : $$ \Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4\cdot (-4.91)\cdot 4 \cong 83.4 $$Dans la mesure où \(\Delta>0\), cette équation admet deux solutions : $$\begin{align} {t_s}_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{83.4}}{2\cdot (-4.91)} \cong 0.83~\text{s}\\ {t_s}_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1+\sqrt{83.4}}{2\cdot (-4.91)} \cong -1.03~\text{s}\end{align}$$

    Le temps cherché est dans le futur de la configuration initiale, il faut donc que \(t_s > t_0 = 0~\text{s}\). Ainsi le temps où l'objet se trouvera au sol est \(0.83~\text{s}\).

    On peut dès lors substituer ce temps dans l'équation de la vitesse pour trouver cette dernière : $$ v_s = a\cdot t_s+v_0 = -9.81\cdot 0.83-1 = -9.13~\text{m}/\text{s} $$ La balle arrivera donc au sol avec une vitesse dirigée vers le bas et ayant une intensité de \(9.13~\text{m}/\text{s}\), soit \(32.4~\text{km}/\text{h}\).

Nouvel exemple

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