Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{3}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}\right)$$
Ce calcul revient à se poser la question \(3\) puissance combien fait \(\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}\). En effet : $$ x=\log_{3}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}\right) \Leftrightarrow 3^x = \sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[4]{\dfrac{1}{81}} = \left(\dfrac{1}{81}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{1}{3^{4}}\right)^{1/4} = \left(3^{-4}\right)^{1/4} = 3^{-1}$$ Ainsi : $$3^x = 3^{-1}$$ On en déduit donc que \(x = -1\). Autrement dit : $$\log_{3}(\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}) = -1$$
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