Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-2\log\left(xy^{2}z^{\frac{1}{5}}\right)+4\log\left(\dfrac{x^{\frac{2}{5}}y^{3}}{z^{2}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-2\log\left(xy^{2}z^{\frac{1}{5}}\right)+4\log\left(x^{\frac{2}{5}}y^{3}z^{-2}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(xy^{2}z^{\frac{1}{5}}\right)^{-2}\right)+\log\left(\left(x^{\frac{2}{5}}y^{3}z^{-2}\right)^{4}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-2}y^{-4}z^{-\frac{2}{5}}\right)+\log\left(x^{\frac{8}{5}}y^{12}z^{-8}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-2}y^{-4}z^{-\frac{2}{5}}x^{\frac{8}{5}}y^{12}z^{-8}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{2}{5}}y^{8}z^{-\frac{42}{5}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{8}}{x^{\frac{2}{5}}z^{\frac{42}{5}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{8}}{\sqrt[5]{x^{2}}\sqrt[5]{z^{42}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{8}}{\sqrt[5]{x^{2}}\sqrt[5]{z^{42}}}\right)$$

Nouvel exemple