Résoudre des équations trigonométriques mobilisant d'autres connaissances (relations trigonométriques, équations du deuxième degré) en donnant les solutions dans l'intervalle mentionné, en degrés ou en radians. [seuls quelques types d'exemples sont proposés ici]$$ -8\cos^2(x) -4\sin^2(x) = -4~;~\text{avec}~\theta~\text{en radians et}~\theta\in \mathbb{R} $$
A partir de la relation suivante, on peut isoler \(\sin^2(x)\) : $$ \begin{array}{rcl|l} \cos^2(x) + \sin^2(x) & = & 1 & -\cos^2(x) \\ \sin^2(x) & = & 1-\cos^2(x) & \end{array} $$Cela nous permet de substituer \(\sin^2(x)\) dans notre équation : $$ \begin{array}{rcl|l} -8\cos^2(x) -4\sin^2(x) & = & -4 &\text{Substitution} \\ -8\cos^2(x) -4(1-\cos^2(x)) & = & -4 &\text{Distributivité} \\ -8\cos^2(x) -4+4\cos^2(x) & = & -4 & +4 \\ -8\cos^2(x) +4\cos^2(x) & = & 0 & \text{Simplification} \\-4\cos^2(x) & = & 0 & :(-4) \\\cos^2(x) & = & 0 & \pm \sqrt{} \\ \cos(x) & = & \pm\sqrt{0} & \\ \cos(x) & = & \pm0 & \end{array} $$Une première solution de la première équation peut être obtenue :$$ \begin{array}{rcl|l} \cos(x) & = & 0 & \cos^{-1}\\ x_1 & \cong & \dfrac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution de cette première équation en esquissant un petit cercle trigonométrique.
On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_2 = -x_1\). Ainsi : $$ x_1 \cong \dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~ x_2 \cong -\dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut procéder de la même manière pour la seconde équation :$$ \begin{array}{rcl|l} \cos(x) & = & -0 & \cos^{-1}\\ x_3 & \cong & \dfrac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution de cette première équation en esquissant un petit cercle trigonométrique.
On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_4 = -x_3\). Ainsi : $$ x_3 \cong \dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~ x_4 \cong -\dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$
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