Trigonométrie

On peut tout d'abord utiliser la relation suivante pour trouver une relation entre les fonctions sinus et cosinus : $$\begin{array}{rcl|l} \tan(\beta) & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \text{Valeurs}\\ \dfrac{7}{9} & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \cdot\cos(\beta)\\ \dfrac{7}{9}\cos(\beta) & = & \sin(\beta) & :\left(\dfrac{7}{9}\right)\\ \cos(\beta) & = & \dfrac{9}{7}\sin(\beta) & \end{array} $$Ainsi, nous avons pu exprimé \(\cos(\beta)\) en fonction de \(\sin(\beta)\). Cela nous permet de substituer l'expression de \(\cos(\beta)\) dans une autre relation bien connue : $$\begin{array}{rcl|l} \cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Substitution}\\ \left(\dfrac{9}{7}\sin(\beta)\right)^2 + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{81}{49}\sin^2(\beta) + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Factorisation}\\ \left(\dfrac{81}{49} + 1\right)\sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Même dénominateur}\\ \left(\dfrac{81}{49} + \dfrac{49}{49}\right)\sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{130}{49}\sin^2(\beta) & = & 1 & : \left(\dfrac{130}{49}\right)\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{49}{130} & \pm \sqrt{}\\ \sin(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{49}{130}} & \text{Simplification}\\ \sin(\beta) & = & \pm \dfrac{7}{\sqrt{130}} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(\beta)\) doit être positif, ainsi sa valeur est : $$ \sin(\beta) = +\dfrac{7}{\sqrt{130}} $$

Nouvel exemple