Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = 4\alpha+\dfrac{\pi}{4} $$On peut ensuite isoler \(\sin\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} -8\sin\left(\theta\right) & = & 4 & :(-8)\\ \sin\left(\theta\right) & = & -0.5 & \end{array}$$En utilisant la touche arcsinus de la calculatrice (\(\sin^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \sin\left(\theta\right) & = & -0.5 & \sin^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \sin^{-1}\left(-0.5\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & -\dfrac{\pi}{6} + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=\pi-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~ \theta_2 = \dfrac{7\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = 4\alpha+\dfrac{\pi}{4}\), ainsi : $$ 4\alpha_1+\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~ 4\alpha_2+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre ces équations :$$\begin{array}{rcl|l}4\alpha_{1}+\dfrac{\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & -\dfrac{\pi}{4}\\4\alpha_{1} & = & -\dfrac{5\pi}{12}+ k\cdot 2\pi & : (4)\\\alpha_{1} & = & -\dfrac{5\pi}{48}+ k\cdot \dfrac{\pi}{2} & \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl|l}4\alpha_{2}+\dfrac{\pi}{4} & = & \dfrac{7\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & -\dfrac{\pi}{4}\\4\alpha_{2} & = & \dfrac{11\pi}{12}+ k\cdot 2\pi & : (4)\\\alpha_{2} & = & \dfrac{11\pi}{48}+ k\cdot \dfrac{\pi}{2} & \end{array}$$ Comme on ne cherche que les solutions entre \(-\pi\) compris et \(0\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi (arrondis à 3 chiffres significatifs) : $$ \alpha\in\left\{-\dfrac{13\pi}{48};-\dfrac{29\pi}{48};-\dfrac{37\pi}{48};-\dfrac{5\pi}{48}\right\} $$

Nouvel exemple