Trigonométrie

On peut tout d'abord utiliser la relation suivante pour trouver une relation entre les fonctions sinus et cosinus : $$\begin{array}{rcl|l} \tan(\beta) & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \text{Valeurs}\\ -\dfrac{2}{3} & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \cdot\cos(\beta)\\ -\dfrac{2}{3}\cos(\beta) & = & \sin(\beta) & :\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\ \cos(\beta) & = & -\dfrac{3}{2}\sin(\beta) & \end{array} $$Ainsi, nous avons pu exprimé \(\cos(\beta)\) en fonction de \(\sin(\beta)\). Cela nous permet de substituer l'expression de \(\cos(\beta)\) dans une autre relation bien connue : $$\begin{array}{rcl|l} \cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Substitution}\\ \left(-\dfrac{3}{2}\sin(\beta)\right)^2 + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{9}{4}\sin^2(\beta) + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Factorisation}\\ \left(\dfrac{9}{4} + 1\right)\sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Même dénominateur}\\ \left(\dfrac{9}{4} + \dfrac{4}{4}\right)\sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{13}{4}\sin^2(\beta) & = & 1 & : \left(\dfrac{13}{4}\right)\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{4}{13} & \pm \sqrt{}\\ \sin(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{4}{13}} & \text{Simplification}\\ \sin(\beta) & = & \pm \dfrac{2}{\sqrt{13}} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), \(\sin(\beta)\) doit être positif, ainsi sa valeur est : $$ \sin(\beta) = +\dfrac{2}{\sqrt{13}} $$

Nouvel exemple