Trigonométrie

On peut tout d'abord utiliser la relation suivante pour trouver une relation entre les fonctions sinus et cosinus : $$\begin{array}{rcl|l} \tan(\beta) & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \text{Valeurs}\\ -\dfrac{7}{9} & = & \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} & \cdot\cos(\beta)\\ -\dfrac{7}{9}\cos(\beta) & = & \sin(\beta) & \end{array} $$Ainsi, nous avons pu exprimé \(\sin(\beta)\) en fonction de \(\cos(\beta)\). Cela nous permet de substituer l'expression de \(\sin(\beta)\) dans une autre relation bien connue : $$\begin{array}{rcl|l} \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Substitution}\\ \left(-\dfrac{7}{9}\cos(\beta)\right)^2 + \cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{49}{81}\cos^2(\beta) + \cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Factorisation}\\ \left(\dfrac{49}{81} + 1\right)\cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Même dénominateur}\\ \left(\dfrac{49}{81} + \dfrac{81}{81}\right)\cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Simplification}\\ \dfrac{130}{81}\cos^2(\beta) & = & 1 & : \left(\dfrac{130}{81}\right)\\ \cos^2(\beta) & = & \dfrac{81}{130} & \pm \sqrt{}\\ \cos(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{81}{130}} & \text{Simplification}\\ \cos(\beta) & = & \pm \dfrac{9}{\sqrt{130}} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), \(\cos(\beta)\) doit être négatif, ainsi sa valeur est : $$ \cos(\beta) = -\dfrac{9}{\sqrt{130}} $$

Nouvel exemple