Calculer de manière exacte et sans la calculatrice la valeur du sinus/cosinus/tangente d’un angle connaissant son sinus/cosinus/tangente.$$ \sin\left(\beta\right) =~? ~;~\text{sachant que}~\cos\left(\beta\right) =-\dfrac{2}{5}~\text{et}~\beta\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right] $$
On peut utiliser la relation suivante pour déterminer \(\sin(\beta)\) : $$\begin{array}{rcl|l} \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Valeurs}\\ \sin^2(\beta) + \left(-\dfrac{2}{5}\right)^2 & = & 1 & \text{Simplification}\\ \sin^2(\beta) + \dfrac{4}{25} & = & 1 & -\dfrac{4}{25}\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{25}{25} - \dfrac{4}{25} & \text{Simplification}\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{21}{25} & \pm\sqrt{}\\ \sin(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{21}{25}} & \text{Simplification :}~\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\ \sin(\beta) & = & \pm\dfrac{\sqrt{21}}{5} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), \(\sin(\beta)\) doit être positif, ainsi sa valeur est : $$ \sin(\beta) = +\dfrac{\sqrt{21}}{5} $$
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