Calculer de manière exacte et sans la calculatrice la valeur du sinus/cosinus/tangente d’un angle connaissant son sinus/cosinus/tangente.$$ \cos\left(\beta\right) =~? ~;~\text{sachant que}~\sin\left(\beta\right) =-\dfrac{6}{7}~\text{et}~\beta\in \left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right] $$
On peut utiliser la relation suivante pour déterminer \(\cos(\beta)\) : $$\begin{array}{rcl|l} \cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) & = & 1 & \text{Valeurs}\\ \cos^2(\beta) + \left(-\dfrac{6}{7}\right)^2 & = & 1 & \text{Simplification}\\ \cos^2(\beta) + \dfrac{36}{49} & = & 1 & -\dfrac{36}{49}\\ \cos^2(\beta) & = & \dfrac{49}{49} - \dfrac{36}{49} & \text{Simplification}\\ \cos^2(\beta) & = & \dfrac{13}{49} & \pm\sqrt{}\\ \cos(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{13}{49}} & \text{Simplification :}~\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\ \cos(\beta) & = & \pm\dfrac{\sqrt{13}}{7} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]\), \(\cos(\beta)\) doit être négatif, ainsi sa valeur est : $$ \cos(\beta) = -\dfrac{\sqrt{13}}{7} $$
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