Trigonométrie

On peut utiliser la relation suivante pour déterminer \(\sin(\beta)\) : $$\begin{array}{rcl|l} \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) & = & 1 & \text{Valeurs}\\ \sin^2(\beta) + \left(-\dfrac{1}{9}\right)^2 & = & 1 & \text{Simplification}\\ \sin^2(\beta) + \dfrac{1}{81} & = & 1 & -\dfrac{1}{81}\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{81}{81} - \dfrac{1}{81} & \text{Simplification}\\ \sin^2(\beta) & = & \dfrac{80}{81} & \pm\sqrt{}\\ \sin(\beta) & = & \pm\sqrt{\dfrac{80}{81}} & \text{Simplification :}~\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\ \sin(\beta) & = & \pm\dfrac{\sqrt{80}}{9} & \end{array} $$Comme \(\beta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), \(\sin(\beta)\) doit être positif, ainsi sa valeur est : $$ \sin(\beta) = +\dfrac{\sqrt{80}}{9} $$Finalement, on peut trouver la tangente en utilisant la relation suivante : $$ \tan(\beta) = \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \dfrac{+\tfrac{\sqrt{80}}{9}}{-\tfrac{1}{9}} = -\dfrac{\tfrac{\sqrt{80}}{9}}{\tfrac{1}{9}} = -\dfrac{\sqrt{80}}{9}\cdot9 = -\sqrt{80} $$

Nouvel exemple