Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = -\alpha+\pi $$On peut ensuite isoler \(\cos\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} -8\cos\left(\theta\right) & = & -\sqrt{48} & :(-8)\\ \cos\left(\theta\right) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \end{array}$$En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & \dfrac{\pi}{6} + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = \dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~ \theta_2 = -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = -\alpha+\pi\), ainsi : $$ -\alpha_1+\pi = \dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~ -\alpha_2+\pi = -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre ces équations :$$\begin{array}{rcl|l}-\alpha_{1}+\pi & = & \dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & -\pi\\-\alpha_{1} & = & -\dfrac{5\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & : (-1)\\\alpha_{1} & = & \dfrac{5\pi}{6}- k\cdot 2\pi & \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl|l}-\alpha_{2}+\pi & = & -\dfrac{\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & -\pi\\-\alpha_{2} & = & -\dfrac{7\pi}{6}+ k\cdot 2\pi & : (-1)\\\alpha_{2} & = & \dfrac{7\pi}{6}- k\cdot 2\pi & \end{array}$$ Comme on ne cherche que les solutions entre \(-2\pi\) compris et \(-\pi\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi (arrondis à 3 chiffres significatifs) : $$ \alpha\in\left\{-\dfrac{7\pi}{6}\right\} $$

Nouvel exemple