Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = -3\alpha-30° $$On peut ensuite isoler \(\cos\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} -7\cos\left(\theta\right)-49 & = & -51.1 & +49\\ -7\cos\left(\theta\right) & = & -2.1 & :(-7)\\ \cos\left(\theta\right) & = & 0.3 & \end{array}$$En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & 0.3 & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(0.3\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 72.5° + k\cdot 360° & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 360\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 72.5°+ k\cdot 360° ~;~ \theta_2 = -72.5°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = -3\alpha-30°\), ainsi : $$ -3\alpha_1-30° = 72.5°+ k\cdot 360° ~;~ -3\alpha_2-30° = -72.5°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre ces équations :$$\begin{array}{rcl|l}-3\alpha_{1}-30° & = & 72.5°+ k\cdot 360° & +30°\\-3\alpha_{1} & = & 103°+ k\cdot 360° & : (-3)\\\alpha_{1} & = & -34.2°- k\cdot 120° & \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl|l}-3\alpha_{2}-30° & = & -72.5°+ k\cdot 360° & +30°\\-3\alpha_{2} & = & -42.5°+ k\cdot 360° & : (-3)\\\alpha_{2} & = & 14.2°- k\cdot 120° & \end{array}$$

Nouvel exemple