Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{7}\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{49}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{7}}\left(\sqrt[3]{49}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{7}\right)^x = \sqrt[3]{49}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{49} = \left(49\right)^{1/3} = \left(7^{2}\right)^{1/3} = 7^{2/3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{7}\right)^x = \left(7^{1 / 5}\right)^x = 7^{x / 5}$$Ainsi : $$7^{x / 5} = 7^{2/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & \dfrac{2}{3}& \cdot 5\\ x & = & \dfrac{10}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{7}}(\sqrt[3]{49}) = \dfrac{10}{3}$$

Nouvel exemple