Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = -2\alpha-\dfrac{\pi}{5} $$On peut ensuite isoler \(\cos\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} 3\cos\left(\theta\right)-18 & = & -19.2 & +18\\ 3\cos\left(\theta\right) & = & -1.2 & :(3)\\ \cos\left(\theta\right) & = & -0.4 & \end{array}$$En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & -0.4 & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(-0.4\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 1.98 + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 1.98+ k\cdot 2\pi ~;~ \theta_2 = -1.98+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = -2\alpha-\dfrac{\pi}{5}\), ainsi : $$ -2\alpha_1-\dfrac{\pi}{5} = 1.98+ k\cdot 2\pi ~;~ -2\alpha_2-\dfrac{\pi}{5} = -1.98+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre ces équations :$$\begin{array}{rcl|l}-2\alpha_{1}-\dfrac{\pi}{5} & = & 1.98+ k\cdot 2\pi & +\dfrac{\pi}{5}\\-2\alpha_{1} & = & 2.61+ k\cdot 2\pi & : (-2)\\\alpha_{1} & = & -1.31- k\cdot \pi & \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl|l}-2\alpha_{2}-\dfrac{\pi}{5} & = & -1.98+ k\cdot 2\pi & +\dfrac{\pi}{5}\\-2\alpha_{2} & = & -1.35+ k\cdot 2\pi & : (-2)\\\alpha_{2} & = & 0.677- k\cdot \pi & \end{array}$$

Nouvel exemple