Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = -2\alpha $$On peut ensuite isoler \(\tan\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} 2\tan\left(\theta\right) & = & -\sqrt{12} & :(2)\\ \tan\left(\theta\right) & = & -\sqrt{3} & \end{array}$$En utilisant la touche arctangente de la calculatrice (\(\tan^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \tan\left(\theta\right) & = & -\sqrt{3} & \tan^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \tan^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & -\dfrac{\pi}{3} + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=\pi+\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = -\dfrac{\pi}{3}+ k\cdot 2\pi ~;~ \theta_2 = \dfrac{2\pi}{3}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Dans ce cas, on remarque que les deux solutions sont exactement opposées (c'est toujours le cas pour la fonciton tangente comme on peut le constater sur le schéma ci-dessus). On peut donc garder une seule des deux solutions et ajouter des demi-tours. On peut donc réécrire nos solutions ainsi : $$ \theta = -\dfrac{\pi}{3}+ k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = -2\alpha\), ainsi : $$ -2\alpha = -\dfrac{\pi}{3}+ k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre cette équation :$$\begin{array}{rcl|l}-2\alpha & = & -\dfrac{\pi}{3}+ k\cdot \pi & : (-2)\\\alpha & = & \dfrac{\pi}{6}- k\cdot \dfrac{\pi}{2} & \end{array}$$ Comme on ne cherche que les solutions entre \(-2\pi\) compris et \(2\pi\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi (arrondis à 3 chiffres significatifs) : $$ \alpha\in\left\{-\dfrac{11\pi}{6};-\dfrac{4\pi}{3};-\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3};\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{\pi}{6}\right\} $$

Nouvel exemple