Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = \alpha-\dfrac{\pi}{6} $$On peut ensuite isoler \(\sin\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} -2\sin\left(\theta\right) & = & -2 & :(-2)\\ \sin\left(\theta\right) & = & 1 & \end{array}$$En utilisant la touche arcsinus de la calculatrice (\(\sin^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \sin\left(\theta\right) & = & 1 & \sin^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \sin^{-1}\left(1\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & \dfrac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On constate qu'il n'existe pas ici une deuxième famille de solution distinguable de la première sur le cercle trigonométrique. Ainsi : $$ \theta = \dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = \alpha-\dfrac{\pi}{6}\), ainsi : $$ \alpha-\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre cette équation :$$\begin{array}{rcl|l}\alpha-\dfrac{\pi}{6} & = & \dfrac{\pi}{2}+ k\cdot 2\pi & +\dfrac{\pi}{6}\\\alpha & = & \dfrac{2\pi}{3}+ k\cdot 2\pi & \end{array}$$

Nouvel exemple