Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/3\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{27}\). En effet : $$ x=\log_{1/3}\left(\sqrt[5]{27}\right) \Leftrightarrow \left(1/3\right)^x = \sqrt[5]{27}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{27} = \left(27\right)^{1/5} = \left(3^{3}\right)^{1/5} = 3^{3/5}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = \left(3^{-1}\right)^x = 3^{-x}$$Ainsi : $$3^{-x} = 3^{3/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & \dfrac{3}{5}& \cdot (-1)\\ x & = & -\dfrac{3}{5}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/3}(\sqrt[5]{27}) = -\dfrac{3}{5}$$

Nouvel exemple