Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[6]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{32}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[6]{2}}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{32}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[6]{2}\right)^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{32}}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{32}} = \left(\dfrac{1}{32}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{2^{5}}\right)^{1/3} = \left(2^{-5}\right)^{1/3} = 2^{-5/3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[6]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 6}\right)^x = 2^{x / 6}$$Ainsi : $$2^{x / 6} = 2^{-5/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{6} & = & -\dfrac{5}{3}& \cdot 6\\ x & = & -10& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[6]{2}}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{32}}) = -10$$

Nouvel exemple