Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{2}\) puissance combien fait \(\dfrac{1}{32}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{2}}\left(\dfrac{1}{32}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \dfrac{1}{32}$$D'une part : $$ \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^{5}} = 2^{-5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 3}\right)^x = 2^{x / 3}$$Ainsi : $$2^{x / 3} = 2^{-5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & -5& \cdot 3\\ x & = & -15& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{2}}(\dfrac{1}{32}) = -15$$

Nouvel exemple