Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[2]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{1000000}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[2]{10}}\left(\sqrt[5]{1000000}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[2]{10}\right)^x = \sqrt[5]{1000000}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{1000000} = \left(1000000\right)^{1/5} = \left(10^{6}\right)^{1/5} = 10^{6/5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[2]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 2}\right)^x = 10^{x / 2}$$Ainsi : $$10^{x / 2} = 10^{6/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{2} & = & \dfrac{6}{5}& \cdot 2\\ x & = & \dfrac{12}{5}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[2]{10}}(\sqrt[5]{1000000}) = \dfrac{12}{5}$$

Nouvel exemple