Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/3\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{9}\). En effet : $$ x=\log_{1/3}\left(\sqrt[3]{9}\right) \Leftrightarrow \left(1/3\right)^x = \sqrt[3]{9}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{9} = \left(9\right)^{1/3} = \left(3^{2}\right)^{1/3} = 3^{2/3}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = \left(3^{-1}\right)^x = 3^{-x}$$Ainsi : $$3^{-x} = 3^{2/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & \dfrac{2}{3}& \cdot (-1)\\ x & = & -\dfrac{2}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/3}(\sqrt[3]{9}) = -\dfrac{2}{3}$$

Nouvel exemple