Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[6]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{0.001}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[6]{10}}\left(\sqrt[2]{0.001}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[6]{10}\right)^x = \sqrt[2]{0.001}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{0.001} = \left(0.001\right)^{1/2} = \left(\dfrac{1}{1000}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{1}{10^{3}}\right)^{1/2} = \left(10^{-3}\right)^{1/2} = 10^{-3/2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[6]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 6}\right)^x = 10^{x / 6}$$Ainsi : $$10^{x / 6} = 10^{-3/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{6} & = & -\dfrac{3}{2}& \cdot 6\\ x & = & -9& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[6]{10}}(\sqrt[2]{0.001}) = -9$$

Nouvel exemple