Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[6]{10000}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{10}}\left(\sqrt[6]{10000}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{10}\right)^x = \sqrt[6]{10000}$$D'une part : $$ \sqrt[6]{10000} = \left(10000\right)^{1/6} = \left(10^{4}\right)^{1/6} = 10^{2/3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 3}\right)^x = 10^{x / 3}$$Ainsi : $$10^{x / 3} = 10^{2/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & \dfrac{2}{3}& \cdot 3\\ x & = & 2& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{10}}(\sqrt[6]{10000}) = 2$$

Nouvel exemple