Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/5\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{625}}\). En effet : $$ x=\log_{1/5}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{625}}\right) \Leftrightarrow \left(1/5\right)^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{625}}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{625}} = \left(\dfrac{1}{625}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{5^{4}}\right)^{1/3} = \left(5^{-4}\right)^{1/3} = 5^{-4/3}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{5}\right)^x = \left(5^{-1}\right)^x = 5^{-x}$$Ainsi : $$5^{-x} = 5^{-4/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & -\dfrac{4}{3}& \cdot (-1)\\ x & = & \dfrac{4}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/5}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{625}}) = \dfrac{4}{3}$$

Nouvel exemple