Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[6]{3}\) puissance combien fait \(\sqrt[6]{9}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[6]{3}}\left(\sqrt[6]{9}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[6]{3}\right)^x = \sqrt[6]{9}$$D'une part : $$ \sqrt[6]{9} = \left(9\right)^{1/6} = \left(3^{2}\right)^{1/6} = 3^{1/3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[6]{3}\right)^x = \left(3^{1 / 6}\right)^x = 3^{x / 6}$$Ainsi : $$3^{x / 6} = 3^{1/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{6} & = & \dfrac{1}{3}& \cdot 6\\ x & = & 2& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[6]{3}}(\sqrt[6]{9}) = 2$$

Nouvel exemple