Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/10\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{100000}\). En effet : $$ x=\log_{1/10}\left(\sqrt[3]{100000}\right) \Leftrightarrow \left(1/10\right)^x = \sqrt[3]{100000}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{100000} = \left(100000\right)^{1/3} = \left(10^{5}\right)^{1/3} = 10^{5/3}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{10}\right)^x = \left(10^{-1}\right)^x = 10^{-x}$$Ainsi : $$10^{-x} = 10^{5/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & \dfrac{5}{3}& \cdot (-1)\\ x & = & -\dfrac{5}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/10}(\sqrt[3]{100000}) = -\dfrac{5}{3}$$

Nouvel exemple