Trigonométrie

Pour commencer, on peut renommer l'argument de notre fonction trigonométrique en posant $$ \theta = -2\alpha-36° $$On peut ensuite isoler \(\cos\left(\theta\right)\) : $$\begin{array}{rcl|l} -6\cos\left(\theta\right) & = & -0 & :(-6)\\ \cos\left(\theta\right) & = & 0 & \end{array}$$En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & 0 & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(0\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 90° + k\cdot 360° & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 360\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 90°+ k\cdot 360° ~;~ \theta_2 = -90°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Dans ce cas, on remarque que les deux solutions sont exactement opposées. On peut donc garder une seule des deux solutions et ajouter des demi-tours. On peut donc réécrire nos solutions ainsi : $$ \theta = 90°+ k\cdot 180° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut dès lors trouver \(\alpha\). En effet, rappelons que nous avons posé \(\theta = -2\alpha-36°\), ainsi : $$ -2\alpha-36° = 90°+ k\cdot 180° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut maintenant résoudre cette équation :$$\begin{array}{rcl|l}-2\alpha-36° & = & 90°+ k\cdot 180° & +36°\\-2\alpha & = & 126°+ k\cdot 180° & : (-2)\\\alpha & = & -63°- k\cdot 90° & \end{array}$$

Nouvel exemple