Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = 7\sqrt[3]{x}-8e^x+3\sin(x)$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{1/3}\right)' = \dfrac{1}{3}\cdot x^{-2/3} $$Dès lors : $$ \left(7\sqrt[3]{x}\right)' = 7\left(x^{1/3}\right)'= 7\left(\dfrac{1}{3}\cdot x^{-2/3}\right) = \dfrac{7}{3}\cdot x^{-2/3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-2/3} = \dfrac{1}{x^{2/3}} = \dfrac{1}{x^{2\cdot\tfrac{1}{3}}}= \dfrac{1}{\left(x^{2}\right)^{1/3}}= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(7\sqrt[3]{x}\right)' = \dfrac{7}{3\sqrt[3]{x^{2}}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-8e^x\right)' = -8\left(e^x\right)' = -8e^x$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(3\sin(x)\right)' = 3\left(\sin(x)\right)' = 3\cos(x)$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{7}{3\sqrt[3]{x^{2}}}-8e^x+3\cos(x) $$
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