Limites

On constate que lorsque \(x\) tend vers \(0\), le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). Cela signifie que plus \(x\) s'approche de \(0\), plus le numérateur et le dénominateur deviennent petits. Cependant, on ne sait pas lequel des deux se rapproche le plus rapidement de zéro. Cette forme est donc pour le moment indéterminée. Pour pouvoir déterminer la valeur de la limite, on peut essayer de factoriser l'expression pour la simplifier ensuite : $$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{5x^2+50x}{x^2}\right) = \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{5(x)(x+10)}{(x)(x)}\right)$$ On peut simplifier cette fraction par \((x)\), c'est-à-dire concrètement diviser le numérateur et le dénominateur par \((x)\). En effet, rappelons que \(\lim_{x\to 0}\) signifie que \(x\) s'approche de \(0\), mais sans être égal à \(0\), dès lors nous ne sommes pas en train de faire une divions par zéro. Ainsi : $$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{5(x)(x+10)}{(x)(x)}\right) = \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{5(x+10)}{(x)}\right)$$ On constate que lorsque \(x\) tend vers \(0\) :

• Le numérateur tend vers \(5(0+10)=50\)
• Le dénominateur tend vers \((0)=0\)

Cela signifie que lorsque \(x\) se rapproche de \(0\), notre expression tend vers un nombre non nul divisé par un nombre qui devient de plus en petit. Dès lors, le résultat est de plus en plus grand. La limite tendra donc vers plus ou moins l'infini. Il faut donc vérifier ce qu'il se passe à gauche de \(0\) et à droite de \(0\), en particulier concernant le signe.

• Considérons la limite à gauche de \(0\) : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}0}\left(\dfrac{5(x+10)}{(x)}\right)$$
  • Le numérateur tend vers \(50\) et est donc positif.
  • Le dénominateur tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x<0\), on a que \((x)\) est négatif.
  Comme le numérateur est positif et le dénominateur négatif, le résultat est donc négatif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}0}\left(\dfrac{5(x+10)}{(x)}\right) = -\infty $$
• Considérons la limite à droite de \(0\) : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}0}\left(\dfrac{5(x+10)}{(x)}\right)$$
  • Le numérateur tend vers \(50\) et est donc positif.
  • Le dénominateur tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x>0\), on a que \((x\) est positif.
  Comme le numérateur est positif et le dénominateur positif, le résultat est donc positif. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}0}\left(\dfrac{5(x+10)}{(x)}\right) = +\infty $$

En résumé :$$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{5x^2+50x}{x^2}\right) \text{n'existe pas}$$ $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}0}\left(\dfrac{5x^2+50x}{x^2}\right) = -\infty $$ $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}0}\left(\dfrac{5x^2+50x}{x^2}\right) = +\infty $$

Nouvel exemple