Calculer une limite lorsque \(x\) tend vers \(\pm \infty\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{9x^2-x}-3x\right)$$
On constate que lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) le terme \(\sqrt{9x^2-x}\) devient arbitrairement grand en magnitude et positif alors que le terme \(-3x\) devient arbitrairement grand en magnitude et négatif. On a donc la soustraction de deux termes arbitrairement grands. Cette limite est donc pour le moment indéterminée, car on ne sait pas lequel des deux termes croît le plus vite. Par ailleurs, on ne peut pas simplifier le terme sous la racine. On peut en revanche multiplier notre limite par un 1 intelligent, à savoir : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{9x^2-x}-3x\right) = \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{(\sqrt{9x^2-x}-3x)(\sqrt{9x^2-x}+3x)}{\sqrt{9x^2-x}+3x}\right)$$ En effet, il est ensuite possible de simplifier le numérateur en distribuant les deux parenthèses, ce qui donne : $$\sqrt{9x^2-x}^2-3x\sqrt{9x^2-x}+3x\sqrt{9x^2-x}-9x^2$$ Dès lors, le carré annule la racine et les deux termes du milieu s'annulent. Il ne reste plus que : $$9x^2-x-9x^2 = -x$$ et notre limite se réécrit : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-x}{\sqrt{9x^2-x}+3x}\right)$$ Le terme au dénominateur tend vers l'infini. On peut dès lors simplifier le numérateur et le dénominateur pour avoir un dénominateur qui tende vers une constante : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-1}{\dfrac{\sqrt{9x^2-x}}{x}+3}\right)$$ Pour pouvoir simplifier la fraction avec la racine, il faut pouvoir entrer \(x\) sous la racine. Pour ce faire, constatons tout d'abord que : $$ x \text{ est positif} \Leftrightarrow x = +\sqrt{x^2}$$ Ainsi notre limite peut se réécrire : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-1}{\dfrac{\sqrt{9x^2-x}}{+\sqrt{x^2}}+3}\right) =\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-1}{+\sqrt{\dfrac{9x^2-x}{x^2}}+3}\right)$$ On peut réécrire l'argument sous la racine : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-1}{+\sqrt{9-\dfrac{1}{x}}+3}\right)$$ Dès lors, tous les termes du type \(\dfrac{\text{const}}{x^n}\) avec \(n>0\) vont tendre vers zéro lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Les termes non nuls restant dans la limite sont donc : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-1}{+\sqrt{9}+3}\right) = \dfrac{-1}{6} = -\dfrac{1}{6}$$ En résumé :$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{9x^2-x}-3x\right) = -\dfrac{1}{6}$$
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