Géométrie 2D

Le produit scalaire entre les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) est défini par : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|\cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs cherchés. Dès lors : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}}{\left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|}\right) $$ Par ailleurs, le produit scalaire peut se calculer également à l'aide des composantes des vecteurs : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}2 \\ -4\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c}-4 \\ -1\end{array}\right) = 2\cdot (-4) + (-4)\cdot (-1) = -4 $$ Les normes des vecteurs sont quant à elles données par : $$ \begin{align} \left\|\overrightarrow{a}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}2 \\ -4\end{array}\right)\right\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \cong 4.47\\ \left\|\overrightarrow{b}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}-4 \\ -1\end{array}\right)\right\| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \cong 4.12 \end{align}$$ Ainsi : $$ \theta \cong \cos^{-1}\left(\dfrac{-4}{4.47\cdot 4.12}\right) \cong \cos^{-1}\left(-0.217\right) \cong 102.53° $$

Nouvel exemple