Géométrie 2D

Le produit scalaire entre les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) est défini par : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|\cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs cherchés. Dès lors : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}}{\left\|\overrightarrow{a}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{a}\right\|}\right) $$ Par ailleurs, le produit scalaire peut se calculer également à l'aide des composantes des vecteurs : $$ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 8\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c}-7 \\ 9\end{array}\right) = 1\cdot (-7) + 8\cdot 9 = 65 $$ Les normes des vecteurs sont quant à elles données par : $$ \begin{align} \left\|\overrightarrow{a}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}1 \\ 8\end{array}\right)\right\| = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{65} \cong 8.06\\ \left\|\overrightarrow{b}\right\| & = \left\|\left(\begin{array}{c}-7 \\ 9\end{array}\right)\right\| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2} = \sqrt{130} \cong 11.4 \end{align}$$ Ainsi : $$ \theta \cong \cos^{-1}\left(\dfrac{65}{8.06\cdot 11.4}\right) \cong \cos^{-1}\left(0.707\right) = 45° $$

Nouvel exemple