Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \(x^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int -\sqrt[8]{x} \text{ d}x = \int -x^{\tfrac{1}{8}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-x^{\tfrac{1}{8}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{8}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{8}+1 = \dfrac{9}{8}\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{\tfrac{9}{8}}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{\tfrac{9}{8}}\right)' = \dfrac{9}{8}x^{\tfrac{1}{8}} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-x^{\tfrac{1}{8}}\) on obtient \(\dfrac{9}{8}x^{\tfrac{1}{8}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{9}{8}x^{\tfrac{1}{8}}\) est \(\dfrac{9}{8}\) fois plus grand que \(x^{\tfrac{1}{8}}\) qui est \(-1\) fois plus petit que \(-x^{\tfrac{1}{8}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{9}{8}\) et de le multiplier par \(-1\). Autrement dit, de le multiplier par : $$-1 : \dfrac{9}{8} = -1 \cdot \dfrac{8}{9} = -\dfrac{8}{9} $$ Ainsi : $$ \int -x^{\tfrac{1}{8}} \text{ d}x = -\dfrac{8}{9}x^{\tfrac{9}{8}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{8}{9}x^{\tfrac{9}{8}}+c\right)' = -\dfrac{8}{9}\cdot\left(\dfrac{9}{8} x^{\tfrac{1}{8}}\right) = -x^{\tfrac{1}{8}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \(x^{\tfrac{9}{8}}\) ainsi :$$ x^{\tfrac{9}{8}} = \left(x^{9}\right)^{\tfrac{1}{8}} = \sqrt[8]{x^{9}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -\sqrt[8]{x} \text{ d}x = -\dfrac{8}{9}\sqrt[8]{x^{9}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple