Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \(x^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int 7\sqrt[4]{x} \text{ d}x = \int 7x^{\tfrac{1}{4}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(7x^{\tfrac{1}{4}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{4}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{4}+1 = \dfrac{5}{4}\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{\tfrac{5}{4}}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{\tfrac{5}{4}}\right)' = \dfrac{5}{4}x^{\tfrac{1}{4}} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(7x^{\tfrac{1}{4}}\) on obtient \(\dfrac{5}{4}x^{\tfrac{1}{4}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{5}{4}x^{\tfrac{1}{4}}\) est \(\dfrac{5}{4}\) fois plus grand que \(x^{\tfrac{1}{4}}\) qui est \(7\) fois plus petit que \(7x^{\tfrac{1}{4}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{5}{4}\) et de le multiplier par \(7\). Autrement dit, de le multiplier par : $$7 : \dfrac{5}{4} = 7 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{28}{5} $$ Ainsi : $$ \int 7x^{\tfrac{1}{4}} \text{ d}x = \dfrac{28}{5}x^{\tfrac{5}{4}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{28}{5}x^{\tfrac{5}{4}}+c\right)' = \dfrac{28}{5}\cdot\left(\dfrac{5}{4} x^{\tfrac{1}{4}}\right) = 7x^{\tfrac{1}{4}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \(x^{\tfrac{5}{4}}\) ainsi :$$ x^{\tfrac{5}{4}} = \left(x^{5}\right)^{\tfrac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^{5}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int 7\sqrt[4]{x} \text{ d}x = \dfrac{28}{5}\sqrt[4]{x^{5}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple