Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \(x^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int 4\sqrt[3]{x} \text{ d}x = \int 4x^{\tfrac{1}{3}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(4x^{\tfrac{1}{3}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{3}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{3}+1 = \dfrac{4}{3}\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{\tfrac{4}{3}}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{\tfrac{4}{3}}\right)' = \dfrac{4}{3}x^{\tfrac{1}{3}} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(4x^{\tfrac{1}{3}}\) on obtient \(\dfrac{4}{3}x^{\tfrac{1}{3}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{4}{3}x^{\tfrac{1}{3}}\) est \(\dfrac{4}{3}\) fois plus grand que \(x^{\tfrac{1}{3}}\) qui est \(4\) fois plus petit que \(4x^{\tfrac{1}{3}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{4}{3}\) et de le multiplier par \(4\). Autrement dit, de le multiplier par : $$4 : \dfrac{4}{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{4} = 3 $$ Ainsi : $$ \int 4x^{\tfrac{1}{3}} \text{ d}x = 3x^{\tfrac{4}{3}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(3x^{\tfrac{4}{3}}+c\right)' = 3\cdot\left(\dfrac{4}{3} x^{\tfrac{1}{3}}\right) = 4x^{\tfrac{1}{3}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \(x^{\tfrac{4}{3}}\) ainsi :$$ x^{\tfrac{4}{3}} = \left(x^{4}\right)^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{x^{4}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int 4\sqrt[3]{x} \text{ d}x = 3\sqrt[3]{x^{4}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple