Déterminer les primitives d'une fonction élémentaire (ou proportionnelle à une fonction élémentaire). Calculer les primitives suivantes :$$ \int -20x^{6} \text{ d}x $$
On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-20x^{6}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(6\) est un polynôme de degré \(7\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{7}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{7}\right)' = 7x^{6} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-20x^{6}\) on obtient \(7 x^{6}\). Par ailleurs, \(7 x^{6}\) est \(7\) fois plus grand que \(x^{6}\) qui est \(-20\) fois plus petit que \(-20x^{6}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(7\) et de le multiplier par \(-20\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-20}{7}\) :$$ \int -20x^{6} \text{ d}x = -\dfrac{20}{7}x^{7}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{20}{7}x^{7}+c\right)' = -\dfrac{20}{7}\cdot\left(7 x^{6}\right) = -20x^{6} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -20x^{6} \text{ d}x = -\dfrac{20}{7}x^{7}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$
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