Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \(x^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int \dfrac{2}{\sqrt[6]{x}} \text{ d}x = \int \dfrac{2}{x^{\tfrac{1}{6}}} \text{ d}x $$ et réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire négative pour ne plus avoir de fraction :$$ \int \dfrac{2}{\sqrt[6]{x}} \text{ d}x = \int 2x^{-\tfrac{1}{6}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(2x^{-\tfrac{1}{6}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-\dfrac{1}{6}\) est un polynôme de degré \(-\dfrac{1}{6}+1 = \dfrac{5}{6}\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{\tfrac{5}{6}}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{\tfrac{5}{6}}\right)' = \dfrac{5}{6}x^{-\tfrac{1}{6}} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(2x^{-\tfrac{1}{6}}\) on obtient \(\dfrac{5}{6}x^{-\tfrac{1}{6}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{5}{6}x^{-\tfrac{1}{6}}\) est \(\dfrac{5}{6}\) fois plus grand que \(x^{-\tfrac{1}{6}}\) qui est \(2\) fois plus petit que \(2x^{-\tfrac{1}{6}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{5}{6}\) et de le multiplier par \(2\). Autrement dit, de le multiplier par : $$2 : \dfrac{5}{6} = 2 \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{12}{5} $$ Ainsi : $$ \int 2x^{-\tfrac{1}{6}} \text{ d}x = \dfrac{12}{5}x^{\tfrac{5}{6}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{12}{5}x^{\tfrac{5}{6}}+c\right)' = \dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac{5}{6} x^{-\tfrac{1}{6}}\right) = 2x^{-\tfrac{1}{6}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \(x^{\tfrac{5}{6}}\) ainsi :$$ x^{\tfrac{5}{6}} = \left(x^{5}\right)^{\tfrac{1}{6}} = \sqrt[6]{x^{5}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{2}{\sqrt[6]{x}} \text{ d}x = \dfrac{12}{5}\sqrt[6]{x^{5}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple