Cours BEJUNE

Objectif 6

Calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes (pour l'instant seul des exemples avec des fonctions polynomiales sont proposés, mais bien entendu l'objectif doit être maîtrisé quel que soit la fonction). Calculer l'aire enfermée entre la droite verticale $x=3$, la droite verticale $x=10$, l'axe des $x$ et le graphe de $f$, avec :$$ f(x) = 7x^{2}+3x^{}-10$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, il faut déterminer si la fonction intersecte l'axe $x$ entre $3$ et $10$. En effet, l'intégrale entre deux bornes d'une fonction donne l'aire signée (c'est-à-dire comptée négativement si l'aire se trouve sous l'axe des $x$) entre le graphe de $f$ et l'axe des $x$, alors que nous désirons l'aire géométrique (comptée positivement qu'elle soit au-dessus ou au-dessous de l'axe des $x$). Pour déterminer les intersections avec l'axe des $x$, il faut résoudre l'équation : $$ 7x^{2}+3x^{}-10 = 0$$ Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en la factorisant. Nous pouvons déjà factoriser toute l'équation par $7$, ce qui donne : $$ 0 = 7\left(x^2 +\dfrac{3}{7}x-\dfrac{10}{7}\right) $$ Ensuite : $$ 0 = 7\left(x+\dfrac{10}{7}\right)\left(x-1\right) $$ Il s'agit d'un produit de deux termes dont le résultat est nul, il y a ainsi deux possibilités :

soit $\left(x+\dfrac{10}{7}\right)=0$ ;
soit $\left(x-1\right)=0$.

Les deux solutions sont donc : $$ x_1 = -\dfrac{10}{7} \quad ; \quad x_2 = 1 $$ Comme aucun des zéros trouvés se situent entre $3$ et $10$, nous sommes assurés que la fonction ne croise jamais l'axe des $x$ sur cet intervalle et ainsi que l'aire signée donnée par l'intégrale ne change jamais de signe.L'aire sera donc donnée par : $$ A = \left|\int_{3}^{10} \left(7x^{2}+3x^{}-10\right)\text{ d}x\right| $$ Il faut désormais trouver la primitive de $7x^{2}+3x^{}-10$. Celle-ci est donnée par : $$ \int \left(7x^{2}+3x^{}-10\right)\text{ d}x = \dfrac{7}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-10x + c, \forall c\in\mathbb{R}$$ (Comme vu à l'objectif précédent, la constante $c$ n'aura aucune influence dans le calcul des intégrales avec bornes, car elle s'annule dans la soustraction). On obtient ainsi :$$\begin{array}{ll}\displaystyle \left|\int_{3}^{10} \left(7x^{2}+3x^{}-10\right)\text{ d}x\right| & = \left|\left.\dfrac{7}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-10x\right|_{3}^{10}\right|\\ & = \left|\left(\dfrac{7}{3}(10)^3+\dfrac{3}{2}(10)^2-10(10)\right)-\left(\dfrac{7}{3}(3)^3+\dfrac{3}{2}(3)^2-10(3)\right)\right|\\ & \cong \left|2383.33-46.5\right| \cong \left|2336.83\right| = 2336.83 \end{array} $$Ainsi l'aire cherchée vaut : $$ A \cong 2336.83 $$

Nouvel exemple