Trigonométrie

En utilisant la touche arccosinus de la calculatrice (\(\cos^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \cos\left(\theta\right) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \cos^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & 30° + k\cdot 360° & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 360\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = 30°+ k\cdot 360° ~;~ \theta_2 = -30°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Comme on ne cherche que les solutions entre \(-360°\) compris et \(540°\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi : $$ \theta\in\left\{-330°;-30°;30°;330°;390°\right\} $$

Nouvel exemple