Trigonométrie

En utilisant la touche arcsinus de la calculatrice (\(\sin^{-1}\)), on obtient une première famille de solution :$$\begin{array}{rcl|l} \sin\left(\theta\right) & = & -0.2 & \sin^{-1}(...)\\ \theta_1 & = & \sin^{-1}\left(-0.2\right) & \text{Calculatrice}\\ \theta_1 & = & -0.201 + k\cdot 2\pi & \text{avec \(k\in\mathbb{Z}\)}\\ \end{array}$$En effet, on peut ajouter ou retrancher autant de tours complets que l'on souhaite, on se trouvera au même endroit dans le cercle trigonométrique, d'où le \(+ k\cdot 2\pi\) où \(k\) représente le nombre de tours. Il peut exister une deuxième famille de solutions, que l'on peut trouver en esquissant un petit cercle trigonométrique :

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(\theta_2=\pi-\theta_1\). Ainsi : $$ \theta_1 = -0.201+ k\cdot 2\pi ~;~ \theta_2 = 3.34+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Comme on ne cherche que les solutions entre \(0\) compris et \(3\pi\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi : $$ \theta\in\left\{3.34;6.08\right\} $$

Nouvel exemple