Trigonométrie

On peut commencer par réexprimer la tangente en fonction du sinus et du cosinus : $$ \begin{array}{rcl|l} \sin(x) & = & -0.5\tan(x) & \text{Relation trigonométrique} \\ \sin(x) & = & -0.5\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & +0.5\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \sin(x) +0.5\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & = & 0 & \text{Factorisation} \\ \sin(x)\cdot\left(1 +0.5\dfrac{1}{\cos(x)}\right) & = & 0 & \end{array} $$Nous avons ainsi un produit de deux termes qui donne zéro. Dès lors, soit le premier terme est nul, soit le second est nul. Dans le premier cas, cela revient à avoir \(\sin(x)=0\). Cette équation a deux solutions : $$ x_{1a} = 0 + k\cdot 2\pi~;~ x_{1b} = \pi + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ On peut synthétiser ces deux solutions ainsi : $$ x_1 = 0 + k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$

Dans le second cas, nous avons : $$ \begin{array}{rcl|l} 1 +0.5\dfrac{1}{\cos(x)} & = & 0 & -0.5\dfrac{1}{\cos(x)} \\ 1 & = & -0.5\dfrac{1}{\cos(x)} & \cdot\cos(x)~\text{Attention :}~\cos(x)\neq 0\\ \cos(x) & = & -0.5 & \cos^{-1}\\ x_2 & = & \dfrac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution en esquissant un petit cercle trigonométrique.

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_3 = -x_2\). Ainsi : $$ x_2 = \dfrac{2\pi}{3}+ k\cdot 2\pi ~;~ x_3 = -\dfrac{2\pi}{3}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Au final, les solutions générales peuvent être synthétisées ainsi : $$ x_1 = 0 + k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_2 = \dfrac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_3 = -\dfrac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$

Nouvel exemple