Trigonométrie

On peut commencer par réexprimer la tangente en fonction du sinus et du cosinus : $$ \begin{array}{rcl|l} \sin(x) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan(x) & \text{Relation trigonométrique} \\ \sin(x) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \sin(x) -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & = & 0 & \text{Factorisation} \\ \sin(x)\cdot\left(1 -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\cos(x)}\right) & = & 0 & \end{array} $$Nous avons ainsi un produit de deux termes qui donne zéro. Dès lors, soit le premier terme est nul, soit le second est nul. Dans le premier cas, cela revient à avoir \(\sin(x)=0\). Cette équation a deux solutions : $$ x_{1a} = 0° + k\cdot 360°~;~ x_{1b} = 180° + k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ On peut synthétiser ces deux solutions ainsi : $$ x_1 = 0° + k\cdot 180° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$

Dans le second cas, nous avons : $$ \begin{array}{rcl|l} 1 -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\cos(x)} & = & 0 & +\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\cos(x)} \\ 1 & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\cos(x)} & \cdot\cos(x)~\text{Attention :}~\cos(x)\neq 0\\ \cos(x) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cos^{-1}\\ x_2 & = & 45° + k\cdot 360° & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution en esquissant un petit cercle trigonométrique.

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_3 = -x_2\). Ainsi : $$ x_2 = 45°+ k\cdot 360° ~;~ x_3 = -45°+ k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Au final, les solutions générales peuvent être synthétisées ainsi : $$ x_1 = 0° + k\cdot 180° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_2 = 45° + k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_3 = -45° + k\cdot 360° ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ Comme on ne cherche que les solutions entre \(-180°\) compris et \(180°\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi (arrondis à 3 chiffres significatifs) : $$ x\in\left\{-180°;-45°;0°;45°\right\} $$

Nouvel exemple