Trigonométrie

A partir de la relation suivante, on peut isoler \(\sin^2(x)\) : $$ \begin{array}{rcl|l} \cos^2(x) + \sin^2(x) & = & 1 & -\cos^2(x) \\ \sin^2(x) & = & 1-\cos^2(x) & \end{array} $$Cela nous permet de substituer \(\sin^2(x)\) dans notre équation : $$ \begin{array}{rcl|l} -5\cos^2(x) +7\sin^2(x) & = & 1 &\text{Substitution} \\ -5\cos^2(x) +7(1-\cos^2(x)) & = & 1 &\text{Distributivité} \\ -5\cos^2(x) +7-7\cos^2(x) & = & 1 & -7 \\ -5\cos^2(x) -7\cos^2(x) & = & -6 & \text{Simplification} \\-12\cos^2(x) & = & -6 & :(-12) \\\cos^2(x) & = & \dfrac{1}{2} & \pm \sqrt{} \\ \cos(x) & = & \pm\sqrt{\dfrac{1}{2}} & \\ \cos(x) & = & \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \end{array} $$Une première solution de la première équation peut être obtenue :$$ \begin{array}{rcl|l} \cos(x) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cos^{-1}\\ x_1 & \cong & \dfrac{\pi}{4} + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution de cette première équation en esquissant un petit cercle trigonométrique.

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_2 = -x_1\). Ainsi : $$ x_1 \cong \dfrac{\pi}{4}+ k\cdot 2\pi ~;~ x_2 \cong -\dfrac{\pi}{4}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$On peut procéder de la même manière pour la seconde équation :$$ \begin{array}{rcl|l} \cos(x) & = & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cos^{-1}\\ x_3 & \cong & \dfrac{3\pi}{4} + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution de cette première équation en esquissant un petit cercle trigonométrique.

On en déduit que l'autre famille de solution est donnée par \(x_4 = -x_3\). Ainsi : $$ x_3 \cong \dfrac{3\pi}{4}+ k\cdot 2\pi ~;~ x_4 \cong -\dfrac{3\pi}{4}+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$

Nouvel exemple