Trigonométrie

On peut commencer par réexprimer la tangente en fonction du sinus et du cosinus : $$ \begin{array}{rcl|l} \sin(x) & = & -\tan(x) & \text{Relation trigonométrique} \\ \sin(x) & = & -\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & +\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \sin(x) +\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} & = & 0 & \text{Factorisation} \\ \sin(x)\cdot\left(1 +\dfrac{1}{\cos(x)}\right) & = & 0 & \end{array} $$Nous avons ainsi un produit de deux termes qui donne zéro. Dès lors, soit le premier terme est nul, soit le second est nul. Dans le premier cas, cela revient à avoir \(\sin(x)=0\). Cette équation a deux solutions : $$ x_{1a} = 0 + k\cdot 2\pi~;~ x_{1b} = \pi + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ On peut synthétiser ces deux solutions ainsi : $$ x_1 = 0 + k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$

Dans le second cas, nous avons : $$ \begin{array}{rcl|l} 1 +\dfrac{1}{\cos(x)} & = & 0 & -\dfrac{1}{\cos(x)} \\ 1 & = & -\dfrac{1}{\cos(x)} & \cdot\cos(x)~\text{Attention :}~\cos(x)\neq 0\\ \cos(x) & = & -1 & \cos^{-1}\\ x_2 & = & \pi + k\cdot 2\pi & \text{avec}~k\in\mathbb{Z} \end{array} $$On peut trouver l'autre solution en esquissant un petit cercle trigonométrique.

On constate qu'il n'existe pas ici une deuxième famille de solution distinguable de la première sur le cercle trigonométrique. Ainsi : $$ x_2 = \pi+ k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$Par ailleurs, cette solution a déjà été comptabilisée dans la solution \(x_1\). Au final, les solutions générales peuvent être synthétisées ainsi : $$ x_1 = 0 + k\cdot \pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_2 = \pi + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ $$ x_3 = -\pi + k\cdot 2\pi ~;~\text{avec}~k\in\mathbb{Z} $$ Comme on ne cherche que les solutions entre \(-2\pi\) compris et \(\pi\) non compris, on fait varier \(k\) jusqu'à sortir de cet intervalle. On obtient ainsi (arrondis à 3 chiffres significatifs) : $$ x\in\left\{-2\pi;-\pi;0\right\} $$

Nouvel exemple