Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \sin\left(6x^{10}\right)$$
Nous constatons que nous avons une composition de fonction, en l'occurrence la fonction \(v(x)=6x^{10}\) qui est imbriquée dans la fonction \(u(x)=\sin(x)\). Pour y voir plus clair, on peut poser \(z = v(x)\) et ainsi on a : $$ u(z) = \sin(z) \quad ; \quad z = v(x) = 6x^{10} \quad ; \quad f(x) = u(v(x))$$ La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(z)\cdot v'(x)$$ On a ainsi : $$ u'(z) = \cos(z)$$ et $$ v'(x) = 60x^{9}$$ Ainsi : $$ f'(x) = \cos(z)\cdot \left(60x^{9}\right)$$ En substituant \(z=6x^{10}\), on obtient donc : $$ f'(x) = \cos\left(6x^{10}\right)\cdot\left(60x^{9}\right) $$ Nous pouvons encore simplifier cette expression :$$ f'(x) = 60\cos\left(6x^{10}\right)x^{9} $$
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