Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=4\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=4\), c'est-à-dire : $$ m = f'(4) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{2}\right)' = 2x^{} $$Dès lors : $$ \left(-6x^{2}\right)' = -6\left(x^{2}\right)'= -6\left(2x^{}\right) = -12x^{} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= -12x^{} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(4) = -48 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=4\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((4;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(4) = -96 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = -48x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((4;-96)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ -96 = -48\cdot 4+h \quad \Rightarrow \quad h = 96$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = -48x+96$$

Nouvel exemple