Résoudre un problème basique de capitalisation (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)). Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$\begin{array}{ll} \text{Versement en début de période :} & S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1}\\ \text{Versement en fin de période :} & \ddot{S}_n = a\dfrac{r^n-1}{r-1} \end{array}$$
Apolline place une somme de CHF 150 en début d'année sur un compte épargne avec un taux annuel fixe de 2% (intérêts composés). Apolline verse ensuite cette même somme à chaque début d'année. Après un nombre à déterminer d'années, le montant sur le compte s'élève à un capital supérieur ou égal à CHF 3287 en fin d'année. Déterminer le nombre minimal d'années nécessaires pour atteindre ou dépasser un tel capital final.
Apolline place en chaque début d'année \(a = \text{CHF }150\), obtient un capital final \(S_n = \text{CHF }3287\), avec un taux annuel \(i_{a} = 2\% = 0.02\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.02\), et on cherche la durée \(n\) en ans. La relation entre ces grandeurs est : $$ S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant) : $$\begin{array}{rcl|l} 3287 & = & 150\dfrac{1.02(1.02^{n}-1)}{1.02-1} & :150\\ 21.9133 & \cong & \dfrac{1.02(1.02^{n}-1)}{0.02} & \cdot 0.02\\ 0.4383 & \cong & 1.02(1.02^{n}-1) & : 1.02\\ 0.4297 & \cong & 1.02^{n}-1 & +1\\ 1.4297 & \cong & 1.02^{n} & \log(...)\\ 0.1552 & \cong & \log(1.02^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.1552 & \cong & n\cdot \log(1.02) & :\log(1.02)\\ 18.05 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(19\text{ ans}\) pour que le capital soit supérieur ou égal au capital indiqué (en effet, Apolline reçoit les intérêts seulement en chaque fin d'année).
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