Résoudre un problème basique de dette (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)), que la dette soit entièrement soldée ou qu'il reste une dette résiduelle. Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$ D_n = C_0r^n - a\dfrac{r^n-1}{r-1} $$
Juliana emprunte une somme de CHF 29000 puis rembourse en un nombre à déterminer d'annuités d'un montant de CHF 3892 avec un taux annuel fixe de 2.5% (intérêts composés) de telle sorte que la dette résiduelle s'élèvera alors à CHF 2107. Déterminer le nombre d'années nécessaires.
Il faut déterminer le nombre d'annuités d'une valeur \(a = \text{CHF }3892\) que doit verser Juliana pour rembourser une dette initiale de \(C_0 = \text{CHF }29000\) à un taux annuel \(i_{a} = 2.5\% = 0.025\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.025\), pour que la dette restante soit de \(D_n =\text{CHF }2107\). L'état d'une dette est donnée par : $$ D_n = C_0r^n - a\dfrac{r^n-1}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant). La partie en bleu ci-dessous peut bien entendu être effectuée en une seule étape, mais pour les personnes qui ne sont pas à l'aise avec la priorité des opérations, vous trouverez ainsi tous les détails (avec encore plus de détails en note de bas de page). $$\begin{array}{rcl|l} \color{blue}{2107} & \color{blue}{=} & \color{blue}{29000\cdot 1.025^{n} - 3892\dfrac{1.025^{n}-1}{1.025-1}} & \color{blue}{\text{Calcul et réécriture}^*}\\ \color{blue}{\dfrac{2107}{1}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{29000\cdot 1.025^{n}}{1} - \dfrac{3892}{1}\cdot\dfrac{1.025^{n}-1}{0.025}} & \color{blue}{\text{Calcul}}\\ \color{blue}{\dfrac{2107}{1}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{29000\cdot 1.025^{n}}{1} - \dfrac{3892(1.025^{n}-1)}{0.025}} & \color{blue}{\text{Même dénominateur}}\\ \color{blue}{\dfrac{52.675}{0.025}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{0.025\cdot 29000\cdot 1.025^{n}}{0.025} - \dfrac{3892(1.025^{n}-1)}{0.025}} & \color{blue}{\text{Simplification}^*}\\ \color{blue}{\dfrac{52.675}{0.025}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{725\cdot 1.025^{n}}{0.025} - \dfrac{3892(1.025^{n}-1)}{0.025}} & \color{blue}{\cdot 0.025}\\ 52.675 & = & 725\cdot 1.025^{n} - 3892(1.025^{n}-1) & \text{Distributivité}^*\\ 52.675 & = & 725\cdot 1.025^{n} - 3892\cdot 1.025^{n} + 3892 & - 3892\\ -3839.325 & = & 725\cdot 1.025^{n} - 3892\cdot 1.025^{n} & \text{Simplicifaction}^{**}\\ -3839.325 & = & -3167\cdot 1.025^{n} & : \left(-3167\right)\\ 1.2123 & \cong & 1.025^{n} & \log(...)\\ 0.0836 & \cong & \log(1.025^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.0836 & \cong & n\cdot \log(1.025) & :\log(1.025)\\ 7.8 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(8\text{ ans}\) pour que la dette arrive à \(\text{CHF }2107\) (avec possiblement le dernier versement effectué inférieur au montant des autres annuités).
\(^*\)Attention à ne pas tomber dans le piège suivant : $$ 29000\cdot 1.025^{n} \neq 29725^n$$ En effet, il y a un problème de priorité des opérations dans la fausse idée ci-dessus, dans la mesure où on doit d'abord effectuer la puissance (qui n'est que sur \(1.025\)) puis la multiplication. Prenons un exemple avec des nombres plus parlant : $$ 3\cdot 5^2 = 3 \cdot (5\cdot 5) = 3\cdot 25 = 75$$ alors que $$ (3\cdot 5)^2 = (15)^2 = 225$$ et jusqu'à nouvel avis \(15\neq 225\) !
\(^{**}\)Mise en évidence : de la même manière que \(7x-4x=3x\) ou que \(725x - 3989.3x = -3264.3x\), on a que \(725\cdot 1.025^{n} - 3989.3\cdot 1.025^{n} = -3264.3\cdot 1.025^{n}\).
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