Intégrales

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(16x^{4}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(4\) est un polynôme de degré \(5\). Prenons simplement comme ansatz \(x^{5}\). Sa dérivée est : $$ \left(x^{5}\right)' = 5x^{4} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(16x^{4}\) on obtient \(5 x^{4}\). Par ailleurs, \(5 x^{4}\) est \(5\) fois plus grand que \(x^{4}\) qui est \(16\) fois plus petit que \(16x^{4}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(5\) et de le multiplier par \(16\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{16}{5}\) :$$ \int 16x^{4} \text{ d}x = \dfrac{16}{5}x^{5}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{16}{5}x^{5}+c\right)' = \dfrac{16}{5}\cdot\left(5 x^{4}\right) = 16x^{4} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int 16x^{4} \text{ d}x = \dfrac{16}{5}x^{5}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple